В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC и боковой стороной AB, равной 14, а также с косинусом угла A (cos A = ( \frac{3\sqrt{19}}{14} )), необходимо найти высоту, проведённую к основанию AC.
Для начала, мы можем воспользоваться свойствами треугольников и тригонометрическими функциями. Поскольку AB = AC, то треугольник равнобедренный, и высота, проведённая из вершины B на основание AC, делит основание пополам.
Обозначим точку D как основание высоты из B на AC. Поскольку высота делит AC пополам, то AD = DC = ( \frac{AC}{2} ).
Согласно определению косинуса, мы имеем:
[
\cos A = \frac{AD}{AB}
]
Мы можем выразить AD через AB и cos A:
[
AD = AB \cdot \cos A
]
Подставив известные значения, получим:
[
AD = 14 \cdot \frac{3\sqrt{19}}{14} = 3\sqrt{19}
]
Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту BD. В треугольнике ABD по теореме Пифагора:
[
AB^2 = AD^2 + BD^2
]
Подставим значения:
[
14^2 = (3\sqrt{19})^2 + BD^2
]
[
196 = 171 + BD^2
]
[
BD^2 = 196 - 171 = 25
]
[
BD = \sqrt{25} = 5
]
Таким образом, высота, проведённая к основанию AC, равна 5.
