Чтобы найти сторону (AC) в треугольнике (ABC) с известными углами (A) и (B), используй закон синусов. Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно, угол (C) можно найти следующим образом:
[
C = 180° - A - B = 180° - 30° - 45° = 105°.
]
Теперь мы знаем все углы треугольника и можем использовать закон синусов:
[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C},
]
где
- (a = BC),
- (b = AC),
- (c = AB).
В нашем случае (BC = 8). Соответственно,
[
\frac{8}{\sin C} = \frac{AC}{\sin A}.
]
Теперь подставим известные значения:
[
\frac{8}{\sin 105°} = \frac{AC}{\sin 30°}.
]
Значение (\sin 30° = 0.5), а (\sin 105° = \sin(90° + 15°) = \cos 15°), и
(\cos 15° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}) (из тригонометрических формул), следовательно:
[
\sin 105° = \cos 15° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}.
]
Теперь подставим в закон синусов:
[
\frac{8}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{AC}{0.5}.
]
Упрощаем:
[
\frac{8 \cdot 4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = 2 \cdot AC.
]
Затем мы можем решить это уравнение для (AC):
[
AC = \frac{32}{2(\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{16}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}.
]
Теперь можно умножить числитель и знаменатель на (\sqrt{6} - \sqrt{2}) (конъюгат):
[
AC = \frac{16(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{16(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{16(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 4(\sqrt{6} - \sqrt{2}).
]
Таким образом, (AC \approx 4(\sqrt{6} - \sqrt{2})).
