Рассмотрим треугольник ABC, где точка E лежит на стороне AB, а точка K – на стороне BC. У нас есть два соотношения: ( BE:BA = 2:5 ) и ( BK:BC = 2:5 ).
- Докажем, что отрезок EK параллелен плоскости α.
Согласно условиям, точки E и K делят стороны AB и BC соответственно в одинаковом процентном соотношении. Рассмотрим векторные отношения:
- Если обозначить ( BE = 2x ) и ( BA = 5x ), тогда отрезок ( AB = BE + EA = 2x + 3x = 5x ).
- Таким образом, точка E делит отрезок AB в отношении 2:3.
Теперь рассмотрим сторону BC. Обозначим ( BK = 2y ) и ( KC = 3y ). Тогда общий отрезок ( BC = BK + KC = 2y + 3y = 5y ). Соответственно, точка K делит отрезок BC также в отношении 2:3.
Поскольку и E, и K делят свои соответствующие стороны в одинаковом геометрическом соотношении, это свидетельствует о том, что отрезки EK и AC будут параллельны. Параллельность EK и AC является следствием того, что они являются секущими, которые делят стороны треугольника в одинаковых пропорциях. Следовательно, EK параллелен плоскости α, которая не пересекает эту плоскость.
- Теперь найдем длину отрезка AC, зная, что EK = 4 см.
Используя теорему о подобных треугольниках, мы знаем, что длины отрезков подобны:
[
\frac{EK}{AC} = \frac{BE}{BA} = \frac{2}{5}
]
Подставим известные значения:
[
\frac{4}{AC} = \frac{2}{5}
]
Теперь решим это уравнение:
[
4 \cdot 5 = 2 \cdot AC
]
[
20 = 2 \cdot AC
]
Делим обе стороны на 2:
[
AC = 10 , \text{см}
]
Итак, длина отрезка AC равна 10 см.
Если есть еще вопросы или дополнительные задачи, не стесняйтесь спрашивать!
