Стас выбирает трёхзначное число Найдите вероятность того что оно делится на 48
Чтобы найти вероятность того, что случайно выбранное трёхзначное число делится на 48, сначала определим, сколько трёхзначных чисел есть в целом и сколько из них делится на 48.
1. Общее количество трёхзначных чисел:
Трёхзначные числа начинаются с 100 и заканчиваются на 999. Таким образом, общее количество трёхзначных чисел: \[ 999 - 100 + 1 = 900 \]
2. Определение трёхзначных чисел, делящихся на 48:
Теперь найдем, сколько трёхзначных чисел делится на 48. Для этого найдем минимальное и максимальное трёхзначное число, делящееся на 48.
Минимальное трёхзначное число, делящееся на 48: \( \lceil \frac{100}{48} \rceil = 3 \) (округляем вверх)
Умножим 3 на 48: \( 3 \times 48 = 144 \)
Максимальное трёхзначное число, делящееся на 48: \( \lfloor \frac{999}{48} \rfloor = 20 \) (округляем вниз)
Умножим 20 на 48: \( 20 \times 48 = 960 \)
Теперь мы нашли диапазон — от 144 до 960.
3. Теперь найдем, сколько чисел в этом диапазоне делятся на 48:
Последовательность трёхзначных чисел, делящихся на 48, можно представить как: \[ 144, 192, 240, 288, 336, 384, 432, 480, 528, 576, 624, 672, 720, 768, 816, 864, 912, 960 \]
Чтобы посчитать количество членов в этой последовательности, используем формулу для нахождения количества членов арифметической прогрессии:
- Первый член \( a_1 = 144 \)
- Последний член \( a_n = 960 \)
- Разность \( d = 48 \)
Формула для n-го члена: \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \] Подставляем известные значения: \[ 960 = 144 + (n-1) \cdot 48 \] Решим это уравнение: \[ 960 - 144 = (n-1) \cdot 48 \] \[ 816 = (n-1) \cdot 48 \] \[ n-1 = \frac{816}{48} = 17 \] \[ n = 18 \]
Таким образом, 18 трёхзначных чисел делятся на 48.
4. Расчет вероятности:
Теперь мы можем найти вероятность: \[ P = \frac{\text{Число трёхзначных чисел, делящихся на 48}}{\text{Общее количество трёхзначных чисел}} = \frac{18}{900} = \frac{1}{50} \]
Вероятность того, что случайно выбранное трёхзначное число делится на 48, составляет \( \frac{1}{50} \).
