Аделина, Эвелина и Паулина писали олимпиаду по математике, где за каждую задачу можно было получить некоторое целое неотрицательное количество баллов. После объявления итогов выяснилось, что Аделина и Эвелина показали одинаковый результат, а сумма их баллов больше 21. Сумма баллов всех трёх девочек оказалась меньше 72 и 2¼ раза больше, чем набрала Паулина. Сколько баллов на олимпиаде набрала Аделина

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала обозначим количество баллов, набранных каждой из девочек: - Пусть баллы Аделины и Эвелины обозначим как \( x \), так как они одинаковые. - Обозначим баллы Паулины как \( y \). Теперь мы имеем следующие условия из условия задачи: 1. Сумма баллов Аделины и Эвелины больше 21: \[ 2x > 21 \] 2. Сумма баллов всех трех девочек меньше 72: \[ x + x + y < 72 \] Это можно упростить до: \[ 2x + y < 72 \] 3. Сумма баллов всех трех девочек равняется 2¼ раза баллов Паулины: \[ 2x + y = \frac{9}{4} y \] Умножив обе части уравнения на 4, получим: \[ 8x + 4y = 9y \] Переместим \( 4y \) в правую часть: \[ 8x = 5y \quad \Rightarrow \quad y = \frac{8}{5} x \] Теперь у нас есть два уравнения с одной переменной \( x \): 1. \( 2x + y < 72 \) 2. \( y = \frac{8}{5} x \) Подставим значение \( y \) из второго уравнения в первое: \[ 2x + \frac{8}{5} x < 72 \] Для удобства, преобразуем первое уравнение: \[ \left( 2 + \frac{8}{5} \right)x < 72 \] Превратим \( 2 \) в дробь дробями: \[ \frac{10}{5} + \frac{8}{5} = \frac{18}{5} x < 72 \] Теперь умножим обе стороны на \( \frac{5}{18} \): \[ x < \frac{72 \cdot 5}{18} = 20 \] Теперь у нас есть неравенство: \( x < 20 \). Также по неравенству \( 2x > 21 \) получаем: \[ x > 10.5 \] Поскольку \( x \) — это целое число, то его возможные значения — 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Теперь нужно проверить допустимые значения для \( x \): 1. Если \( x = 11 \): \( y = \frac{8}{5} \cdot 11 = 17.6 \) (не целое) 2. Если \( x = 12 \): \( y = \frac{8}{5} \cdot 12 = 19.2 \) (не целое) 3. Если \( x = 13 \): \( y = \frac{8}{5} \cdot 13 = 20.8 \) (не целое) 4. Если \( x = 14 \): \( y = \frac{8}{5} \cdot 14 = 22.4 \) (не целое) 5. Если \( x = 15 \): \( y = \frac{8}{5} \cdot 15 = 24 \) (целое) 6. Если \( x = 16 \): \( y = \frac{8}{5} \cdot 16 = 25.6 \) (не целое) 7. Если \( x = 17 \): \( y = \frac{8}{5} \cdot 17 = 27.2 \) (не целое) 8. Если \( x = 18 \): \( y = \frac{8}{5} \cdot 18 = 28.8 \) (не целое) 9. Если \( x = 19 \): \( y = \frac{8}{5} \cdot 19 = 30.4 \) (не целое) Таким образом, единственным целым решением является \( x = 15 \), и в этом случае \( y = 24 \). Теперь проверим условия: - Сумма Аделины и Эвелины: \( 15 + 15 = 30 \) (больше 21). - Общая сумма: \( 15 + 15 + 24 = 54 \) (меньше 72). - Сравнение: \( 54 = 2¼ \cdot 24 = 54 \) (все условия выполнены). Таким образом, количество баллов, набранных Аделиной, составляет **15**.