В прямоугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Известно, что BO = 8 и AB = 9. Нам нужно найти длину диагонали AC.
Для начала, рассмотрим свойства прямоугольника. В нем диагонали равны и пересекаются пополам. Это означает, что точка O делит диагонали пополам.
Поскольку AB – это одна из сторон прямоугольника и равна 9, мы можем найти длину другой стороны BC. Используя прямоугольник, обозначим две стороны его длины и ширины как AB и BC соответственно.
Пусть BC = x. Тогда, используя теорему Пифагора для треугольника ABC, мы можем выразить длины диагоналей:
[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{9^2 + x^2} = \sqrt{81 + x^2}. ]
Также мы знаем, что O – это середина диагонали BD, и BO = 8, следовательно, весь отрезок BD равен:
[ BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 8 = 16. ]
Теперь используем диагональ BD (с точки зрения теоремы Пифагора):
[ BD = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{9^2 + x^2} = \sqrt{81 + x^2}. ]
Приравняв обе диагонали, получаем:
[ 16 = \sqrt{81 + x^2}. ]
Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат:
[ 256 = 81 + x^2. ]
Вычтем 81 из обеих сторон:
[ x^2 = 256 - 81 = 175. ]
Теперь найдем x:
[ x = \sqrt{175} = 5\sqrt{7}. ]
Теперь можем найти длину диагонали AC:
[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{9^2 + (5\sqrt{7})^2} = \sqrt{81 + 175} = \sqrt{256} = 16. ]
Таким образом, длина диагонали AC равна 16.
