Автомат получает на вход натуральное число X. По этому числу строится трёхзначное число Y по следующим правилам. 1] Первая цифра числа Y (разряд сотен) – остаток от деления X на 4. 2] Вторая цифра числа Y (разряд десятков) – остаток от деления X на 3. 3] Третья цифра числа Y (разряд единиц) – остаток от деления X на 2. Пример. Исходное число: 55. Остаток от деления на 4 равен 3; остаток от деления на 3 равен 1; остаток от деления на 2 равен 1. Результат работы автомата: 311. Сколько существует двузначных чисел, при обработке которых автомат выдаёт результат 200.

Давайте внимательно рассмотрим, как работает автомат и как мы можем найти двузначные числа, обработка которых приводит к результату 200. По правилам автомата, каждая цифра трёхзначного числа \( Y \) формируется следующим образом: 1. Первая цифра (разряд сотен, \( Y_1 \)) – остаток от деления \( X \) на 4. 2. Вторая цифра (разряд десятков, \( Y_2 \)) – остаток от деления \( X \) на 3. 3. Третья цифра (разряд единиц, \( Y_3 \)) – остаток от деления \( X \) на 2. В нашем случае \( Y = 200 \). Значит: - \( Y_1 = 2 \) (остаток от деления \( X \) на 4), - \( Y_2 = 0 \) (остаток от деления \( X \) на 3), - \( Y_3 = 0 \) (остаток от деления \( X \) на 2). Теперь мы можем записать все условия, которые должны выполняться для \( X \): 1. Остаток от деления \( X \) на 4 должен равняться 2: \( X \mod 4 = 2 \) 2. Остаток от деления \( X \) на 3 должен равняться 0: \( X \mod 3 = 0 \) 3. Остаток от деления \( X \) на 2 должен равняться 0: \( X \mod 2 = 0 \) Теперь давайте выясним возможные значения \( X \), которые являются двузначными числами, то есть \( 10 \leq X < 100 \). Мы можем выразить условия в числовом виде: 1. \( X \) должно быть четным (т.к. \( X \mod 2 = 0 \)). 2. \( X \) должно делиться на 3 (т.к. \( X \mod 3 = 0 \)). 3. При делении на 4, остаток должен быть равен 2. Теперь, чтобы найти все возможности, давайте рассмотрим дважды четные числа, которые делятся на 3 и имеют остаток 2 при делении на 4. Поскольку \( X \) четное и делится на 3, возможные значения \( X \) могут быть записаны как: \( X = 6k \) (где \( k \) — натуральное число). Однако нам нужно, чтобы \( X \) оставляло остаток 2 при делении на 4. Мы можем выразить \( X \) в виде: \( 6k \mod 4 = 2 \). Проверим некоторые значения \( k \): - Если \( k = 1 \), \( X = 6 \) (не подходит, не двузначное). - Если \( k = 2 \), \( X = 12 \) (подходит, проверим все условия): - \( 12 \mod 4 = 0 \) (не подходит). - Если \( k = 3 \), \( X = 18 \) (подходит): - \( 18 \mod 4 = 2 \), - \( 18 \mod 3 = 0 \), - \( 18 \mod 2 = 0 \). - Если \( k = 4 \), \( X = 24 \) (подходит): - \( 24 \mod 4 = 0 \) (не подходит). - Если \( k = 5 \), \( X = 30 \) (подходит): - \( 30 \mod 4 = 2 \), - \( 30 \mod 3 = 0 \), - \( 30 \mod 2 = 0 \). - Если \( k = 6 \), \( X = 36 \) (подходит): - \( 36 \mod 4 = 0 \) (не подходит). - Если \( k = 7 \), \( X = 42 \) (подходит): - \( 42 \mod 4 = 2 \), - \( 42 \mod 3 = 0 \), - \( 42 \mod 2 = 0 \). - Если \( k = 8 \), \( X = 48 \) (подходит): - \( 48 \mod 4 = 0 \) (не подходит). - Если \( k = 9 \), \( X = 54 \) (подходит): - \( 54 \mod 4 = 2 \), - \( 54 \mod 3 = 0 \), - \( 54 \mod 2 = 0 \). - Если \( k = 10 \), \( X = 60 \) (подходит): - \( 60 \mod 4 = 0 \) (не подходит). - Если \( k = 11 \), \( X = 66 \) (подходит): - \( 66 \mod 4 = 2 \), - \( 66 \mod 3 = 0 \), - \( 66 \mod 2 = 0 \). - Если \( k = 12 \), \( X = 72 \) (подходит): - \( 72 \mod 4 = 0 \) (не подходит). - Если \( k = 13 \), \( X = 78 \) (подходит): - \( 78 \mod 4 = 2 \), - \( 78 \mod 3 = 0 \), - \( 78 \mod 2 = 0 \). - Если \( k = 14 \), \( X = 84 \) (подходит): - \( 84 \mod 4 = 0 \) (не подходит). - Если \( k = 15 \), \( X = 90 \) (подходит): - \( 90 \mod 4 = 2 \), - \( 90 \mod 3 = 0 \), - \( 90 \mod 2 = 0 \). - Если \( k = 16 \), \( X = 96 \) (подходит): - \( 96 \mod 4 = 0 \) (не подходит). Находим все подходящие значения \( X \): - 18 - 30 - 42 - 54 - 66 - 78 - 90 Всего 7 двузначных чисел, которые при обработке автомата дают результат 200.