Реши задачу Дана четырёхугольная пирамида MABCD, в основании данной пирамиды лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 6, BC = \sqrt{17}, боковые рёбра пирамиды равны: MA = 8, MB = 10, MD = 9. а) Докажи, что MA является высотой данной пирамиды MABCD. б) Найди расстояние от точки A до плоскости MBC. Запиши ответ в виде десятичной дроби, если у тебя получилось дробное число.

Давай решим задачу шаг за шагом. **а) Докажем, что MA является высотой данной пирамиды MABCD.** Для этого нужно показать, что отрезок MA перпендикулярен плоскости ABCD (основанию пирамиды). В нашей задаче основание ABCD — это прямоугольник, поэтому достаточно проверить, что проекции отрезков MA, MB, MC, MD на плоскость основания равны нулю. 1. Найдем координаты вершин основания ABCD, если предположить, что A(0, 0, 0), B(6, 0, 0), C(6, \(\sqrt{17}\), 0), D(0, \(\sqrt{17}\), 0). Таким образом, у нас есть: - A(0, 0, 0) - B(6, 0, 0) - C(6, \(\sqrt{17}\), 0) - D(0, \(\sqrt{17}\), 0) 2. Установим координаты точки M. Поскольку MA является высотой, точка M будет находиться прямо над точкой A (то есть координаты M будут (0, 0, h), где h — высота). Теперь найдем расстояния от точки M(0, 0, h) до точек B и D: - MB = \(\sqrt{(6-0)^2 + (0-0)^2 + (0-h)^2} = \sqrt{36 + (h^2)}\) = 10 - MD = \(\sqrt{(0-0)^2 + (\sqrt{17}-0)^2 + (0-h)^2} = \sqrt{17 + h^2}\) = 9 Теперь мы можем составить два уравнения на основе этих значений: 1) \[36 + h^2 = 100 \implies h^2 = 64 \implies h = 8\] 2) \[17 + h^2 = 81 \implies h^2 = 64 \implies h = 8\] Так как в обоих случаях h = 8. Таким образом, MA действительно оказывается перпендикулярной плоскости ABCD, и мы доказали, что MA является высотой данной пирамиды. **б) Найдем расстояние от точки A до плоскости MBC.** Чтобы найти расстояние от точки A(0, 0, 0) до плоскости MBC, сначала нужно определить уравнение этой плоскости. Чтобы найти это уравнение, нам нужно три точки: M(0, 0, 8), B(6, 0, 0) и C(6, \(\sqrt{17}\), 0). 1. Векторы полученные от этих точек: - \(\vec{MB} = (6 - 0, 0 - 0, 0 - 8) = (6, 0, -8)\) - \(\vec{MC} = (6 - 0, \sqrt{17} - 0, 0 - 8) = (6, \sqrt{17}, -8)\) 2. Теперь находим векторное произведение этих векторов, чтобы получить нормальный вектор плоскости MBC: \[ \vec{MB} \times \vec{MC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 6 & 0 & -8 \\ 6 & \sqrt{17} & -8 \end{vmatrix} \] Вычисляя это определитель, находим: \[ \vec{n} = ((0)(-8) - (\sqrt{17})(-8)) \hat{i} - ((6)(-8) - (6)(-8)) \hat{j} + ((6)(\sqrt{17}) - (6)(0)) \hat{k} \] \[ = (8\sqrt{17}) \hat{i} - 0 \hat{j} + (6\sqrt{17}) \hat{k} \] Нормальный вектор плоскости МBC: \((8\sqrt{17}, 0, 6\sqrt{17})\). 3. Уравнение плоскости имеет вид: \[ 8\sqrt{17}(x - 0) + 0(y - 0) + 6\sqrt{17}(z - 8) = 0 \] Упрощая, получаем: \[ 8\sqrt{17}x + 6\sqrt{17}z - 48\sqrt{17} = 0 \implies 8x + 6z - 48 = 0 \] 4. Теперь используем формулу для расстояния от точки до плоскости: Расстояние: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] где \(A = 8\), \(B = 0\), \(C = 6\), \(D = -48\), и \(x_0 = 0\), \(y_0 = 0\), \(z_0 = 0\): \[ d = \frac{|8 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 6 \cdot 0 - 48|}{\sqrt{8^2 + 0^2 + 6^2}} = \frac{48}{\sqrt{64 + 36}} = \frac{48}{\sqrt{100}} = \frac{48}{10} = 4.8 \] Таким образом, расстояние от точки A до плоскости MBC равно **4.8**.