Найди площадь фигуры, ограниченной параболой y=3x2+4x+5 и касательными, проведёнными к точкам с абсциссами x=−2 и x=4 данной параболы. Запиши в поле ответа верное число.
Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой \( y = 3x^2 + 4x + 5 \) и касательными, проведенными к этой параболе в точках с абсциссами \( x = -2 \) и \( x = 4 \), сначала найдем координаты касательных.
Найдем производную параболы \( y' \): \[ y' = 6x + 4 \]
Находим координаты и угловые коэффициенты касательных:
Для \( x = -2 \): \[ y(-2) = 3(-2)^2 + 4(-2) + 5 = 3 \cdot 4 - 8 + 5 = 12 - 8 + 5 = 9 \] \[ y'(-2) = 6(-2) + 4 = -12 + 4 = -8 \] Касательная в точке \( (-2, 9) \): \[ y - 9 = -8(x + 2) \Rightarrow y = -8x - 16 + 9 = -8x - 7 \]
Для \( x = 4 \): \[ y(4) = 3(4)^2 + 4(4) + 5 = 3 \cdot 16 + 16 + 5 = 48 + 16 + 5 = 69 \] \[ y'(4) = 6(4) + 4 = 24 + 4 = 28 \] Касательная в точке \( (4, 69) \): \[ y - 69 = 28(x - 4) \Rightarrow y = 28x - 112 + 69 = 28x - 43 \]
Найдем точки пересечения касательных с параболой.
Пересечение параболы и касательной \( y = -8x - 7 \): \[ 3x^2 + 4x + 5 = -8x - 7 \] \[ 3x^2 + 12x + 12 = 0 \] \[ x^2 + 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x + 2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2 \]
Пересечение параболы и касательной \( y = 28x - 43 \): \[ 3x^2 + 4x + 5 = 28x - 43 \] \[ 3x^2 - 24x + 48 = 0 \Rightarrow x^2 - 8x + 16 = 0 \Rightarrow (x - 4)^2 = 0 \Rightarrow x = 4 \]
Касательные пересекают параболу только в точках касания.
Найдем площадь фигуры: Площадь между параболой и двумя касательными определяем интегралом от левой касательной до правой. Нам нужно найти определенный интеграл:
\[ S = \int_{-2}^{4} ((28x - 43) - (3x^2 + 4x + 5)) \, dx \]
Упростим интеграл: \[ S = \int_{-2}^{4} (28x - 43 - 3x^2 - 4x - 5) \, dx = \int_{-2}^{4} (-3x^2 + 24x - 48) \, dx \]
Вычисляем интеграл: \[ S = \int_{-2}^{4} (-3x^2 + 24x - 48) \, dx \] \[ = \left[-x^3 + 12x^2 - 48x\right]_{-2}^{4} \] Подставим пределы: \[ = \left[-4^3 + 12 \cdot 4^2 - 48 \cdot 4\right] - \left[-(-2)^3 + 12 \cdot (-2)^2 - 48 \cdot (-2)\right] \] \[ = \left[-64 + 192 - 192\right] - \left[2 + 48 + 96\right] \] \[ = -64 - 146 = -210 \] Площадь фигуры по модулю: \[ S = 210 \]
Таким образом, площадь фигуры равна \( 210 \).
