Для вычисления ( \sin 2a ), ( \cos 2a ) и ( \tan 2a ) на основе заданного значения ( \sin a = \frac{1}{2} ) и условия ( \frac{\pi}{2} < a < \pi ), воспользуемся тригонометрическими формулами и известными значениями.
Из условия ( \sin a = \frac{1}{2} ) следует, что:
[
a = \frac{5\pi}{6}
]
(значение, отвечающее условиям, поскольку в данном интервале синус положителен).
Теперь вычислим ( \cos a ):
Используем основное тригонометрическое тождество:
[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1
]
Подставим значение ( \sin a ):
[
\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2 a = 1
]
[
\frac{1}{4} + \cos^2 a = 1
]
[
\cos^2 a = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
]
Следовательно, ( \cos a = -\frac{\sqrt{3}}{2} ) (так как ( a ) находится во втором квадранте и косинус отрицателен).
Теперь можем найти ( \sin 2a ) и ( \cos 2a ) с помощью формул удвоенного угла:
[
\sin 2a = 2 \sin a \cos a
]
[
\sin 2a = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}
]
[
\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a
]
[
\cos 2a = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
]
Теперь найдем ( \tan 2a ):
[
\tan 2a = \frac{\sin 2a}{\cos 2a} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = -\sqrt{3}
]
Таким образом, у нас есть следующие значения:
[
\sin 2a = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 2a = \frac{1}{2}, \quad \tan 2a = -\sqrt{3}
]
