Вычислите sin 2a, cos 2a и tg2a если sin a = 1/2 и п/2<a<п

Для вычисления \( \sin 2a \), \( \cos 2a \) и \( \tan 2a \) на основе заданного значения \( \sin a = \frac{1}{2} \) и условия \( \frac{\pi}{2} < a < \pi \), воспользуемся тригонометрическими формулами и известными значениями.

Из условия \( \sin a = \frac{1}{2} \) следует, что:

\[ a = \frac{5\pi}{6} \]

(значение, отвечающее условиям, поскольку в данном интервале синус положителен).

Теперь вычислим \( \cos a \):

Используем основное тригонометрическое тождество:

\[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \]

Подставим значение \( \sin a \):

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2 a = 1 \]

\[ \frac{1}{4} + \cos^2 a = 1 \]

\[ \cos^2 a = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]

Следовательно, \( \cos a = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) (так как \( a \) находится во втором квадранте и косинус отрицателен).

Теперь можем найти \( \sin 2a \) и \( \cos 2a \) с помощью формул удвоенного угла:

\[ \sin 2a = 2 \sin a \cos a \] \[ \sin 2a = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a \] \[ \cos 2a = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

Теперь найдем \( \tan 2a \):

\[ \tan 2a = \frac{\sin 2a}{\cos 2a} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = -\sqrt{3} \]

Таким образом, у нас есть следующие значения:

\[ \sin 2a = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 2a = \frac{1}{2}, \quad \tan 2a = -\sqrt{3} \]