На окружности радиуса 6 отмечена точка С. Отрезок АВ — диаметр окружности, АС = 9. Найдите cos < BAC.

Давайте начнем с того, что нам дано:

• Радиус окружности \( r = 6 \).
• Диаметр \( AB = 2r = 12 \).
• Длина отрезка \( AC = 9 \).

Мы можем разместить точку \( A \) на координатах \( (-6, 0) \) и точку \( B \) на координатах \( (6, 0) \). Так как точка \( C \) лежит на окружности радиуса 6, мы можем обозначить её координаты как \( (6 \cos \theta, 6 \sin \theta) \) для некоторого угла \( \theta \).

Теперь по условию у нас есть отрезок \( AC \). Мы можем найти расстояние \( AC \):

\[ AC = \sqrt{(6 \cos \theta + 6)^2 + (6 \sin \theta)^2} \]

И приравняем его к 9:

\[ AC = \sqrt{(6 \cos \theta + 6)^2 + (6 \sin \theta)^2} = 9 \]

Сначала упростим выражение внутри квадратного корня:

\[ (6 \cos \theta + 6)^2 + (6 \sin \theta)^2 = (6 \cos \theta + 6)^2 + 36 \sin^2 \theta \] \[ = 36 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + 72 \cos \theta + 36 = 36 + 72 \cos \theta + 36 = 72 + 72 \cos \theta \]

Теперь у нас есть уравнение:

\[ \sqrt{72 + 72 \cos \theta} = 9 \]

Возведем в квадрат обе стороны:

\[ 72 + 72 \cos \theta = 81 \] \[ 72 \cos \theta = 9 \] \[ \cos \theta = \frac{9}{72} = \frac{1}{8} \]

Теперь нам нужно найти \( \cos \angle BAC \). В треугольнике \( ABC \) угол \( BAC \) можно найти, используя теорему косинусов:

\[ \cos \angle BAC = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} \]

Где:

• \( AB = 12 \)
• \( AC = 9 \)
• \( BC \) — можно найти из теоремы Пифагора:

\[ BC = \sqrt{(6 - 6 \cos \theta)^2 + (0 - 6 \sin \theta)^2} \] \[ = \sqrt{(6(1 - \cos \theta))^2 + (6(-\sin \theta))^2} \] \[ = 6 \sqrt{(1 - \cos \theta)^2 + \sin^2 \theta} \] \[ = 6 \sqrt{1 - 2\cos \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta} = 6 \sqrt{2 - 2\cos \theta} = 6 \sqrt{2(1 - \cos \theta)} = 6 \sqrt{2 \cdot \frac{7}{8}} = 6 \cdot \sqrt{\frac{14}{8}} = 6 \cdot \frac{\sqrt{14}}{2 \sqrt{2}} = 3 \sqrt{7} \]

Теперь подставим все значения в формулу для \( \cos \angle BAC \):

\[ \cos \angle BAC = \frac{12^2 + 9^2 - (3 \sqrt{7})^2}{2 \cdot 12 \cdot 9} \] \[ = \frac{144 + 81 - 63}{216} = \frac{162}{216} = \frac{3}{4} \]

Таким образом, окончательный ответ:

\[ \cos \angle BAC = \frac{3}{4}. \]