Для решения обеих задач воспользуемся законом всемирного тяготения и формулой для центростремительной силы.
- Ситуация, когда сила притяжения к звезде для первой планеты в 4 раза больше, чем для второй:
Обозначим:
- ( F_1 ) — сила притяжения первой планеты
- ( F_2 ) — сила притяжения второй планеты
По условию задачи:
[
F_1 = 4 F_2
]
Сила притяжения между планетой и звездой описывается по формуле:
[
F = \frac{G \cdot M \cdot m}{R^2}
]
где ( G ) — гравитационная постоянная, ( M ) — масса звезды, ( m ) — масса планеты, ( R ) — радиус орбиты.
Для первой планеты:
[
F_1 = \frac{G \cdot M \cdot m}{R_1^2}
]
Для второй планеты:
[
F_2 = \frac{G \cdot M \cdot m}{R_2^2}
]
Теперь подставим в уравнение:
[
\frac{G \cdot M \cdot m}{R_1^2} = 4 \cdot \frac{G \cdot M \cdot m}{R_2^2}
]
Сократив одинаковые множители, получаем:
[
\frac{1}{R_1^2} = \frac{4}{R_2^2}
]
Теперь выразим отношение радиусов:
[
\frac{R_2^2}{R_1^2} = 4 \implies \frac{R_2}{R_1} = 2
]
Таким образом, отношение радиусов орбит первой и второй планет:
[
\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}
]
- Ситуация, когда сила притяжения к звезде для первой планеты в 4 раза меньше, чем для второй:
По условию задачи:
[
F_1 = \frac{1}{4} F_2
]
Теперь аналогично запишем силы притяжения:
[
F_1 = \frac{G \cdot M \cdot m}{R_1^2}, \quad F_2 = \frac{G \cdot M \cdot m}{R_2^2}
]
Подставим в уравнение:
[
\frac{G \cdot M \cdot m}{R_1^2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{G \cdot M \cdot m}{R_2^2}
]
Сократив одинаковые множители, получаем:
[
\frac{1}{R_1^2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{R_2^2}
]
Теперь выразим отношение радиусов:
[
\frac{R_2^2}{R_1^2} = 4 \implies \frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}
]
Таким образом, отношение радиусов орбит первой и второй планет в этом случае тоже:
[
\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}
]
Ответы:
- ( R_1 : R_2 = 1 : 2 ) (Радиус первой планеты в два раза меньше радиуса второй).
- ( R_1 : R_2 = 1 : 2 ) (Радиус первой планеты в два раза меньше радиуса второй).
