алфавите 15 букв: 10 согласных и 5 гласных, а также 10 цифр. Каким количеством способов можно образовать следующие комбинации: 1) анаграмма слова СЕКУНДА 2) восьмибуквенное слово из различных букв с чередующимися гласными и согласными 3) слово из не более чем четырех букв, причем все буквы различны 4) анаграмма слова СЕКУНДА, не содержащая трех гласных подряд 5) трехзначное число составленное из различных нечетных цифр 6) двузначное число кратное 6 7) трехзначное число кратное 15
число
кратное
анаграмма
трехзначное
секунда
слова
С радостью помогу вам разобраться с каждой из поставленных задач! Давайте рассмотрим каждую комбинацию шаг за шагом.
1) **Анаграмма слова СЕКУНДА.**
Слово "СЕКУНДА" состоит из 8 букв, из которых 2 буквы "А" повторяются. Формула для вычисления количества анаграмм с учетом повторяющихся букв выглядит так:
\[ \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \ldots k_m!} \]
где \( n \) — общее количество букв, а \( k_i \) — количество повторяющихся букв.
В нашем случае:
\[ n = 8, \, k_1 = 2 \text{ (буква "А")} \]
Тогда:
\[ \frac{8!}{2!} = \frac{40320}{2} = 20160 \]
Таким образом, количество анаграмм слова "СЕКУНДА" равно **20160**.
2) **Восьмибуквенное слово из различных букв с чередующимися гласными и согласными.**
Предположим, что гласные: А, Е, И, О, У (всего 5); согласные: С, К, Н, Д, Т (всего 5).
Для чередования (например, Гласная-Согласная-Гласная-Согласная-Гласная-Согласная-Гласная-Согласная):
- У нас уже есть 4 гласные и 4 согласные. Мы можем расположить их вот так:
Гласная (4) гласные и Согласная (4) согласные.
Формула будет:
\[ 5! \times 5! \]
Количество вариантов будет:
\[ 120 \times 120 = 14400 \]
Таким образом, количество восьмибуквенных слов с чередующимися гласными и согласными равно **14400**.
3) **Слово из не более чем четырех букв, причем все буквы различны.**
У нас 15 различных букв. Для 1 буквы: 15 вариантов, для 2 букв:
\[ C(15, 2) \times 2! = 15 \times 14 = 210 \]
Для 3 букв:
\[ C(15, 3) \times 3! = 15 \times 14 \times 13 = 2730 \]
Для 4 букв:
\[ C(15, 4) \times 4! = 15 \times 14 \times 13 \times 12 = 32760 \]
Суммируем все возможности:
\[ 15 + 210 + 2730 + 32760 = 35615 \]
Количество слов из не более чем четырех букв с различными буквами равно **35615**.
4) **Анаграмма слова СЕКУНДА, не содержащая трех гласных подряд.**
Сначала находим общее количество анаграмм (как в первом пункте) — 20160.
Теперь найдем случаи, когда есть 3 гласные подряд.
Гласные у нас: А, А, Е, У (4), выделяем 3 подряд в виде "X": (X)К, Н, Д, то есть буквы "X" будут ААЕ, АЕА, и т.д.
Проще всего через вычитание:
Пусть "X" — это 3 гласные, остается 5 различных букв.
Таким образом, мы можем рассматривать "X" как отдельную букву.
Тогда у нас 6 букв (X, К, Н, Д, С, А).
Количество таких анаграмм:
\[ \frac{6!}{2!} = 360 \]
Таким образом, количество "не содержащих" = 20160 - 360 = **19700**.
5) **Трехзначное число, составленное из различных нечетных цифр.**
Нечетные цифры: 1, 3, 5, 7, 9 (всего 5).
Мы можем выбрать 3 цифры и расставить их:
Количество способов выбрать 3 из 5:
\[ 5 \times 4 \times 3 = 60 \]
Таким образом, количество трехзначных чисел, составленных из различных нечетных цифр, равно **60**.
6) **Двузначное число кратное 6.**
Двузначные числа кратные 6: начинаем с 12 и заканчиваем на 96.
Числа: 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96 (15).
Все четные числа из них:
Кратные 2 и 3.
Чисел 15, кратных 6 — это **15**.
7) **Трехзначное число кратное 15.**
Трехзначное число кратно 15, если оно кратно 3 и 5.
Последняя цифра может только быть 0 или 5. Если 0, тогда числа 100, 105, ..., 990.
Если 5 — 105, 115, ..., 995.
Отметим, что с нулем всего 9 значений и еще 10 на пятерку.
Итог:
\[ 9 + 18 = 27 \]
Количество трехзначных чисел, кратных 15, равно **27**.
Вот так мы подробно разобрали каждую задачу! Если возникнут дополнительные вопросы или потребуется помощь по другим темам, обращайтесь, буду рад помочь!
