Задание Nº 10 Уровень ЕГЭ Первая труба пропускает на 12 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 252…

Обозначим скорость пропуска первой трубы через \( x \) литров в минуту. Тогда скорость пропуска второй трубы будет равна \( x + 12 \) литров в минуту.

Теперь найдем время, которое требуется каждой трубе для заполнения резервуара.

1. Для первой трубы: Объем резервуара — 252 литра. Время заполнения будет: \[ t_1 = \frac{252}{x} \]

2. Для второй трубы: Объем резервуара — 648 литров. Время заполнения будет: \[ t_2 = \frac{648}{x + 12} \]

По условию задачи, первая труба заполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая труба: \[ t_1 = t_2 + 6 \]

Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{252}{x} = \frac{648}{x + 12} + 6 \]

Умножим все уравнение на \( x(x + 12) \) (чтобы избавиться от знаменателей): \[ 252(x + 12) = 648x + 6x(x + 12) \]

Раскроем скобки: \[ 252x + 3024 = 648x + 6x^2 + 72x \]

Соберём все члены в одну сторону: \[ 6x^2 + (648 + 72 - 252)x - 3024 = 0 \] \[ 6x^2 + 468x - 3024 = 0 \]

Разделим всё уравнение на 6: \[ x^2 + 78x - 504 = 0 \]

Теперь воспользуемся формулой квадратичного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = 78 \), \( c = -504 \).

Сначала находим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 78^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-504) = 6084 + 2016 = 8100 \]

Теперь подставим в формулу: \[ x = \frac{-78 \pm \sqrt{8100}}{2} = \frac{-78 \pm 90}{2} \]

Решения:

1. \( x = \frac{12}{2} = 6 \)
2. \( x = \frac{-168}{2} = -84 \) (отрицательное значение не имеет смысла в данном контексте)

Таким образом, скорость первой трубы: \[ x = 6 \text{ литров в минуту.} \]

Проверка:

Скорость второй трубы: \[ x + 12 = 18 \text{ литров в минуту.} \]

Время заполнения первой трубы: \[ t_1 = \frac{252}{6} = 42 \text{ минуты.} \]

Время заполнения второй трубы: \[ t_2 = \frac{648}{18} = 36 \text{ минуты.} \]

Разница во времени: \[ t_1 - t_2 = 42 - 36 = 6 \text{ минут.} \]

Условия задачи выполнены. Ответ: Первая труба пропускает 6 литров воды в минуту.