Обозначим скорость пропуска первой трубы через ( x ) литров в минуту. Тогда скорость пропуска второй трубы будет равна ( x + 12 ) литров в минуту.
Теперь найдем время, которое требуется каждой трубе для заполнения резервуара.
Для первой трубы:
Объем резервуара — 252 литра. Время заполнения будет:
[
t_1 = \frac{252}{x}
]
Для второй трубы:
Объем резервуара — 648 литров. Время заполнения будет:
[
t_2 = \frac{648}{x + 12}
]
По условию задачи, первая труба заполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая труба:
[
t_1 = t_2 + 6
]
Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
\frac{252}{x} = \frac{648}{x + 12} + 6
]
Умножим все уравнение на ( x(x + 12) ) (чтобы избавиться от знаменателей):
[
252(x + 12) = 648x + 6x(x + 12)
]
Раскроем скобки:
[
252x + 3024 = 648x + 6x^2 + 72x
]
Соберём все члены в одну сторону:
[
6x^2 + (648 + 72 - 252)x - 3024 = 0
]
[
6x^2 + 468x - 3024 = 0
]
Разделим всё уравнение на 6:
[
x^2 + 78x - 504 = 0
]
Теперь воспользуемся формулой квадратичного уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1 ), ( b = 78 ), ( c = -504 ).
Сначала находим дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 78^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-504) = 6084 + 2016 = 8100
]
Теперь подставим в формулу:
[
x = \frac{-78 \pm \sqrt{8100}}{2} = \frac{-78 \pm 90}{2}
]
Решения:
- ( x = \frac{12}{2} = 6 )
- ( x = \frac{-168}{2} = -84 ) (отрицательное значение не имеет смысла в данном контексте)
Таким образом, скорость первой трубы:
[
x = 6 \text{ литров в минуту.}
]
Проверка:
Скорость второй трубы:
[
x + 12 = 18 \text{ литров в минуту.}
]
Время заполнения первой трубы:
[
t_1 = \frac{252}{6} = 42 \text{ минуты.}
]
Время заполнения второй трубы:
[
t_2 = \frac{648}{18} = 36 \text{ минуты.}
]
Разница во времени:
[
t_1 - t_2 = 42 - 36 = 6 \text{ минут.}
]
Условия задачи выполнены. Ответ:
Первая труба пропускает 6 литров воды в минуту.
