Решить задачи 1. В группе 21 человек, среди них - Иван и Елена. Группу случайным образом делят на 3 одинаковые по численности подгруппы. Найдите вероятность того, что Иван и Елена окажутся в одной подгруппе. 2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОРР (в первый раз выпадает орёл, во второй и третий - решка). 3. В сборнике билетов по философии всего 45 билетов, в 18 из них встречается вопрос по теме "Пифагор". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Пифагор". 4. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе? 5. На конференцию приехали 2 ученых из Швейцарии, 6 из Великобритании и 2 из Чехии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что девятым окажется доклад ученого из Чехии. 6. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 30 спортсменов, среди них 3 прыгуна из Польши и 4 прыгуна из Дании. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что четвёртым будет выступать прыгун из Польши. 7. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпала больше раз, чем орёл. 8. В сборнике билетов по биологии всего 20 билетов, в 14 из них встречается вопрос по теме «Круглые черви». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Круглые черви».

Давайте подробно решим каждый из заданий по очереди. ### 1. Вероятность, что Иван и Елена окажутся в одной подгруппе. В группе всего 21 человек, и мы делим эту группу на 3 подгруппы по 7 человек. Сначала мы можем выбрать подгруппу для Ивана, которая может быть одной из 3. После этого мы должны выбрать Елену из оставшихся 6 мест в той же подгруппе. Общее количество способов разделить 21 человека на 3 подгруппы по 7 можно вычислить по формуле: \[ \frac{21!}{(7!)^3 \cdot 3!} \] Теперь посчитаем количество способов, чтобы Иван и Елена оказались в одной группе: мы выбираем 5 человек из оставшихся 19, чтобы дополнить подгруппу Ивана и Елены: \[ \frac{19!}{(7!)^3 \cdot 3!} \cdot \binom{19}{5} \] Итак, вероятность P будет равна: \[ P = \frac{\binom{19}{5}}{\frac{21!}{(7!)^3 \cdot 3!}} = \frac{19! \cdot (7!)^3 \cdot 3!}{21! \cdot \binom{19}{5}} \] После вычисления, мы получим: \[ P = \frac{3}{10} \] ### 2. Вероятность исхода ОРР (орёл, решка, решка). Когда мы бросаем симметричную монету три раза, каждый бросок независим, и вероятность выпадения каждого результата составляет 0.5. Таким образом, вероятность последовательности ОРР: \[ P(ОРР) = P(О) \cdot P(Р) \cdot P(Р) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \] ### 3. Вероятность, что в билете не будет вопроса по теме "Пифагор". У нас есть 45 билетов, из которых 18 содержат вопрос по "Пифагору". Таким образом, количество билетов, не содержащих этот вопрос, составляет 45 - 18 = 27. Вероятность того, что в случайно выбранном билете не окажется вопроса по "Пифагору": \[ P = \frac{27}{45} = \frac{3}{5} \] ### 4. Вероятность, что команда России окажется во второй группе. У нас 16 команд, и 4 группы по 4 команды. В каждой группе 4 карточки, из которых 4 – это «2». Общее количество карточек равно 16, и у нас 4 карточки «2», поэтому вероятность того, что команда России окажется во второй группе: \[ P = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \] ### 5. Вероятность, что девятым окажется доклад ученого из Чехии. У нас 10 ученых: 2 из Швейцарии, 6 из Великобритании и 2 из Чехии. Когда выбирается порядок выступлений случайным образом, всего 10! способов. Из них 2 из Чехии могут занять 1 место из 10, а мы знаем, что нужно, чтобы один из них оказался девятым. Вероятность того, что девятым станет чешский ученый: \[ P = \frac{2 \cdot 9!}{10!} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \] ### 6. Вероятность, что четвертым будет прыгун из Польши. Всего у нас 30 спортсменов, из которых 3 из Польши. Мы хотим, чтобы один из польских прыгунов занял 4-е место. Вероятность того, что четвертым окажется польский прыгун: \[ P = \frac{3 \cdot 29!}{30!} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} \] ### 7. Вероятность, что решка выпала больше раз, чем орёл. При двух подбрасываниях возможные результаты: ОО, ОР, РО, РР. Из них нас интересуют ОР и РО, причем их только 2, и результаты: - ОР (1 орёл, 1 решка) - РО (1 орёл, 1 решка) Только РР подходит под условия, следовательно: \[ P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] ### 8. Вероятность, что в билете будет вопрос по «Круглым червям». У нас 20 билетов, из которых 14 содержат вопросы на эту тему. Вероятность того, что в случайно выбранном билете будет вопрос по «Круглым червям»: \[ P = \frac{14}{20} = \frac{7}{10} \] Если у вас возникнут дополнительные вопросы или необходимо уточнить что-то, дайте знать!