решить задачи 1. В группе 21 человек, среди них - Иван и Елена. Группу случайным образом делят на 3 одинаковые по численности подгруппы. Найдите вероятность того, что Иван и Елена…

Давайте подробно решим каждый из заданий по очереди.

1. Вероятность, что Иван и Елена окажутся в одной подгруппе.

В группе всего 21 человек, и мы делим эту группу на 3 подгруппы по 7 человек. Сначала мы можем выбрать подгруппу для Ивана, которая может быть одной из 3. После этого мы должны выбрать Елену из оставшихся 6 мест в той же подгруппе.

Общее количество способов разделить 21 человека на 3 подгруппы по 7 можно вычислить по формуле:

\[ \frac{21!}{(7!)^3 \cdot 3!} \]

Теперь посчитаем количество способов, чтобы Иван и Елена оказались в одной группе: мы выбираем 5 человек из оставшихся 19, чтобы дополнить подгруппу Ивана и Елены:

\[ \frac{19!}{(7!)^3 \cdot 3!} \cdot \binom{19}{5} \]

Итак, вероятность P будет равна:

\[ P = \frac{\binom{19}{5}}{\frac{21!}{(7!)^3 \cdot 3!}} = \frac{19! \cdot (7!)^3 \cdot 3!}{21! \cdot \binom{19}{5}} \]

После вычисления, мы получим:

\[ P = \frac{3}{10} \]

2. Вероятность исхода ОРР (орёл, решка, решка).

Когда мы бросаем симметричную монету три раза, каждый бросок независим, и вероятность выпадения каждого результата составляет 0.5. Таким образом, вероятность последовательности ОРР:

\[ P(ОРР) = P(О) \cdot P(Р) \cdot P(Р) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \]

3. Вероятность, что в билете не будет вопроса по теме "Пифагор".

У нас есть 45 билетов, из которых 18 содержат вопрос по "Пифагору". Таким образом, количество билетов, не содержащих этот вопрос, составляет 45 - 18 = 27.

Вероятность того, что в случайно выбранном билете не окажется вопроса по "Пифагору":

\[ P = \frac{27}{45} = \frac{3}{5} \]

4. Вероятность, что команда России окажется во второй группе.

У нас 16 команд, и 4 группы по 4 команды. В каждой группе 4 карточки, из которых 4 – это «2».

Общее количество карточек равно 16, и у нас 4 карточки «2», поэтому вероятность того, что команда России окажется во второй группе:

\[ P = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \]

5. Вероятность, что девятым окажется доклад ученого из Чехии.

У нас 10 ученых: 2 из Швейцарии, 6 из Великобритании и 2 из Чехии. Когда выбирается порядок выступлений случайным образом, всего 10! способов. Из них 2 из Чехии могут занять 1 место из 10, а мы знаем, что нужно, чтобы один из них оказался девятым.

Вероятность того, что девятым станет чешский ученый:

\[ P = \frac{2 \cdot 9!}{10!} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \]

6. Вероятность, что четвертым будет прыгун из Польши.

Всего у нас 30 спортсменов, из которых 3 из Польши. Мы хотим, чтобы один из польских прыгунов занял 4-е место.

Вероятность того, что четвертым окажется польский прыгун:

\[ P = \frac{3 \cdot 29!}{30!} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} \]

7. Вероятность, что решка выпала больше раз, чем орёл.

При двух подбрасываниях возможные результаты: ОО, ОР, РО, РР. Из них нас интересуют ОР и РО, причем их только 2, и результаты:

• ОР (1 орёл, 1 решка)
• РО (1 орёл, 1 решка)

Только РР подходит под условия, следовательно:

\[ P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

8. Вероятность, что в билете будет вопрос по «Круглым червям».

У нас 20 билетов, из которых 14 содержат вопросы на эту тему. Вероятность того, что в случайно выбранном билете будет вопрос по «Круглым червям»:

\[ P = \frac{14}{20} = \frac{7}{10} \]

Если у вас возникнут дополнительные вопросы или необходимо уточнить что-то, дайте знать!