докажите, что число 9^2015+7^2016 делится на 10

Чтобы доказать, что число \(9^{2015} + 7^{2016}\) делится на 10, рассмотрим остатки этих чисел при делении на 10.

1. Найдём остаток от \(9^{2015}\) при делении на 10: \[ 9 \equiv -1 \mod 10 \] Таким образом: \[ 9^{2015} \equiv (-1)^{2015} \equiv -1 \mod 10 \]

2. Теперь найдём остаток от \(7^{2016}\) при делении на 10. Обратим внимание на то, что поскольку \(7^1 \equiv 7\) и \(7^2 \equiv 49 \equiv 9 \mod 10\), можно заметить, что: \[ 7^3 \equiv 7 \cdot 9 \equiv 63 \equiv 3 \mod 10, \] \[ 7^4 \equiv 7 \cdot 3 \equiv 21 \equiv 1 \mod 10. \] Период остатков (7, 9, 3, 1) повторяется каждые 4 степени. Поскольку \(2016 \mod 4 = 0\), то: \[ 7^{2016} \equiv 1 \mod 10. \]

3. Теперь сложим оба остатка: \[ 9^{2015} + 7^{2016} \equiv -1 + 1 \equiv 0 \mod 10. \]

Таким образом, мы доказываем, что \(9^{2015} + 7^{2016}\) делится на 10.