Вычислите косинус угла между векторами и , если {3; –4}, {15; 8}.
Чтобы вычислить косинус угла между двумя векторами, можно использовать формулу:
\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} \]
где \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) — это скалярное произведение векторов, а \(|\mathbf{a}|\) и \(|\mathbf{b}|\) — длины (модули) векторов.
Даны векторы \(\mathbf{a} = \{3; -4\}\) и \(\mathbf{b} = \{15; 8\}\).
- Сначала найдем скалярное произведение векторов:
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 = 3 \cdot 15 + (-4) \cdot 8 = 45 - 32 = 13 \]
- Теперь найдем длины векторов:
- Для вектора \(\mathbf{a}\):
\[ |\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
- Для вектора \(\mathbf{b}\):
\[ |\mathbf{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \]
- Теперь подставим все значения в формулу для косинуса:
\[ \cos(\theta) = \frac{13}{5 \cdot 17} = \frac{13}{85} \]
Таким образом, косинус угла между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) равен \(\frac{13}{85}\). Вы можете дальше использовать это значение для нахождения угла, если это необходимо, с помощью арккосинуса.
