Чтобы вычислить косинус угла между двумя векторами, можно использовать формулу:
[
\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}
]
где (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) — это скалярное произведение векторов, а (|\mathbf{a}|) и (|\mathbf{b}|) — длины (модули) векторов.
Даны векторы (\mathbf{a} = {3; -4}) и (\mathbf{b} = {15; 8}).
- Сначала найдем скалярное произведение векторов:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 = 3 \cdot 15 + (-4) \cdot 8 = 45 - 32 = 13
]
- Теперь найдем длины векторов:
- Для вектора (\mathbf{a}):
[
|\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
]
- Для вектора (\mathbf{b}):
[
|\mathbf{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17
]
- Теперь подставим все значения в формулу для косинуса:
[
\cos(\theta) = \frac{13}{5 \cdot 17} = \frac{13}{85}
]
Таким образом, косинус угла между векторами (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) равен (\frac{13}{85}). Вы можете дальше использовать это значение для нахождения угла, если это необходимо, с помощью арккосинуса.
