Высота, проведённая из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, делит гипотенузу на отрезки, равные 4 см и 12 см. Чему равен меньший катет треугольника?

Чтобы найти меньший катет прямоугольного треугольника, воспользуемся свойством высоты, проведённой из вершины прямого угла. Высота делит гипотенузу на два отрезка, в данном случае длиной 4 см и 12 см.

Обозначим:

• \( a = 4 \) см (длина одного отрезка)
• \( b = 12 \) см (длина другого отрезка)

Гипотенуза \( c \) равна \( a + b = 4 + 12 = 16 \) см.

Согласно теореме о высоте в прямоугольном треугольнике, высота \( h \) из прямого угла равна:

\[ h = \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{4 \cdot 12} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ см}. \]

Теперь мы можем найти меньший катет \( x \) и больший катет \( y \) с помощью соотношений:

Для катетов справедлива формула:

\[ x = \frac{h^2}{b} \quad \text{и} \quad y = \frac{h^2}{a}. \]

Подставим значения в первую формулу, чтобы найти меньший катет \( x \):

\[ x = \frac{(4\sqrt{3})^2}{12} = \frac{48}{12} = 4 \text{ см}. \]

Таким образом, меньший катет треугольника равен 4 см.