В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD с вершиной Р все рёбра равны 4. Постройте сечение этой пира миды, проходящее через центр О её основания параллельно медиане РК грани ВСР. Установите форму полу ребру ВС ченного сечения; найдите его периметр и площадь
Для решения задачи нужно сначала понять структуру правильной четырёхугольной пирамиды PABCD, где все рёбра равны 4. Это подразумевает, что:
- Р - вершина пирамиды,
- ABCD - основание, представляющее собой квадрат со стороной равной 4.
1. **Определим координаты вершин пирамиды:**
- Возьмем основание в координатной плоскости с центром в начале координат (0,0,0):
- A(2, 2, 0)
- B(2, -2, 0)
- C(-2, -2, 0)
- D(-2, 2, 0)
- Вершина P будет иметь координаты P(0, 0, h), где h - высота пирамиды. Мы можем найти h, используя теорему Пифагора: длина от вершины до любой из вершин основания равна 4.
\[
PA = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2 + (0-h)^2} = 4
\]
\[
\sqrt{4 + 4 + h^2} = 4 \implies 8 + h^2 = 16 \implies h^2 = 8 \implies h = 2\sqrt{2}
\]
Таким образом, P(0, 0, 2√2).
2. **Определим координаты медианы PK:**
К точке K, которая является средней точкой ребра VS, можно получить, находя среднее между двумя точками V и S (где V и S - это точки на грани BCD). В данном случае, отметим, что точка K – это точка на линии, которая соединяет P и среднюю точку ребра BC.
3. **Сечение параллельно медиане PK:**
Чтобы построить сечение, которое будет проходить через центр основания O(0, 0, 0) и быть параллельным медиане PK, можем установить, что оно будет горизонтальной плоскостью, и проекцию на основание будет иметь форму квадрата.
4. **Форма сечения:**
Если сечение проходит через центр основания и параллельно медиане в грани BCD, то это сечение будет квадратом, так как в правильнои пирамиде все грани и сечения имеют симметричную форму.
5. **Нахождение периметра и площади:**
Если у нас имеется квадрат, который получается при сечении, его стороны равны длине BC, т.е., равны 4. Периметр квадрата S будет:
\[
P = 4a
\]
Где a - длина стороны квадрата, то есть:
\[
P = 4 \cdot 4 = 16
\]
Площадь S квадратного сечения равна:
\[
S = a^2 = 4^2 = 16
\]
Таким образом, периметр сечения равен 16, а площадь равна 16.
