Сравните меньший корень уравнения х²-14х+28=0 с большим корнем уравнения х²-2х-1=0

Для того чтобы сравнить меньший корень уравнения \(x^2 - 14x + 28 = 0\) с большим корнем уравнения \(x^2 - 2x - 1 = 0\), сначала найдем корни каждого из этих уравнений. 1. **Находим корни первого уравнения \(x^2 - 14x + 28 = 0\)**: Используем формулу корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \(a = 1\), \(b = -14\), \(c = 28\). Подставим значения: \[ x = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 112}}{2} \] \[ = \frac{14 \pm \sqrt{84}}{2} \] \[ = \frac{14 \pm 2\sqrt{21}}{2} \] \[ = 7 \pm \sqrt{21} \] Таким образом, корни уравнения: - \(x_1 = 7 - \sqrt{21}\) (меньший корень) - \(x_2 = 7 + \sqrt{21}\) (больший корень) 2. **Теперь находим корни второго уравнения \(x^2 - 2x - 1 = 0\)**: Аналогично, подставим значения \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -1\): \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \] \[ = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \] \[ = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \] \[ = 1 \pm \sqrt{2} \] Таким образом, корни уравнения: - \(y_1 = 1 - \sqrt{2}\) (меньший корень) - \(y_2 = 1 + \sqrt{2}\) (большой корень) 3. **Теперь сравним меньший корень первого уравнения \(x_1 = 7 - \sqrt{21}\) с большим корнем второго уравнения \(y_2 = 1 + \sqrt{2}\)**. Для этого нужно выяснить, какой из корней больше: \[ 7 - \sqrt{21} \quad \text{и} \quad 1 + \sqrt{2} \] Чтобы сравнить их, можем оценить значения: - Приблизительно, \(\sqrt{21} \approx 4.58\), тогда \(x_1 \approx 7 - 4.58 = 2.42\). - Приблизительно, \(\sqrt{2} \approx 1.41\), тогда \(y_2 \approx 1 + 1.41 = 2.41\). Таким образом, \(x_1 \approx 2.42\) больше, чем \(y_2 \approx 2.41\). В итоге, мы можем заключить, что меньший корень уравнения \(x^2 - 14x + 28 = 0\) больше, чем больший корень уравнения \(x^2 - 2x - 1 = 0\).