- Чтобы найти количество сторон правильного многоугольника, когда каждый угол равен 156°, используем формулу для величины угла (A) правильного многоугольника с (n) сторонами:
[
A = \frac{(n-2) \cdot 180°}{n}
]
Подставим 156° вместо (A):
[
156° = \frac{(n-2) \cdot 180°}{n}
]
Умножим обе стороны на (n):
[
156n = (n-2) \cdot 180
]
Раскроем скобки:
[
156n = 180n - 360
]
Переносим все члены с (n) в одну сторону:
[
180n - 156n = 360
]
Это упрощается до:
[
24n = 360
]
Теперь найдем (n):
[
n = \frac{360}{24} = 15
]
Таким образом, правильный многоугольник имеет 15 сторон.
- Правильный четырехугольник, вписанный в окружность, представляет собой квадрат. Для вписанного многоугольника длина стороны (a) и радиус окружности (R) связаны следующим образом:
[
a = R\sqrt{2}
]
Где (a = 2). Найдем радиус:
[
R = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}
]
Теперь найдем радиус для описанного четырехугольника (квадрат). Длина его стороны (b) связана с радиусом описанной окружности (R):
[
R = \frac{b\sqrt{2}}{2}
]
Подставим найденный радиус (R = \sqrt{2}):
[
\sqrt{2} = \frac{b\sqrt{2}}{2}
]
Умножим обе стороны на 2:
[
2\sqrt{2} = b\sqrt{2}
]
Теперь делим на (\sqrt{2}):
[
b = 2
]
Сторона правильного четырехугольника, описанного около той же окружности, равна 2.
- Площадь правильного треугольника со стороной (a = \frac{4}{3}):
[
S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{16}{9} = \frac{4\sqrt{3}}{9}
]
Теперь найдем радиус окружности, вписанной в этот треугольник:
[
r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{\left(\frac{4}{3}\right)\sqrt{3}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{18} = \frac{2\sqrt{3}}{9}
]
Теперь этот радиус станет радиусом окружности, в которую вписан правильный шестиугольник. Площадь правильного шестиугольника со стороной (b) рассчитывается следующим образом:
[
S_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}b^2
]
Радиус связи (R) для правильного шестиугольника и его стороны:
[
R = \frac{b\sqrt{3}}{3}
]
Так как (R = \frac{2\sqrt{3}}{9}), подставляем:
[
\frac{2\sqrt{3}}{9} = \frac{b\sqrt{3}}{3}
]
Умножаем обе стороны на 3:
[
\frac{2\sqrt{3}}{3} = b\sqrt{3}
]
Делим на (\sqrt{3}):
[
b = \frac{2}{3}
]
Теперь подставим значение (b) в формулу для площади шестиугольника:
[
S_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{9} = \frac{2\sqrt{3}}{3}
]
Таким образом, площади фигур:
- Площадь правильного треугольника (S_1 = \frac{4\sqrt{3}}{9})
- Площадь правильного шестиугольника (S_2 = \frac{2\sqrt{3}}{3})
