Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый его угол равен 156°? 2. Сторона правильного четырехугольника, вписанного в некоторую окружность, равна 2. Найдите…

1. Чтобы найти количество сторон правильного многоугольника, когда каждый угол равен 156°, используем формулу для величины угла \(A\) правильного многоугольника с \(n\) сторонами:

\[ A = \frac{(n-2) \cdot 180°}{n} \]

Подставим 156° вместо \(A\):

\[ 156° = \frac{(n-2) \cdot 180°}{n} \]

Умножим обе стороны на \(n\):

\[ 156n = (n-2) \cdot 180 \]

Раскроем скобки:

\[ 156n = 180n - 360 \]

Переносим все члены с \(n\) в одну сторону:

\[ 180n - 156n = 360 \]

Это упрощается до:

\[ 24n = 360 \]

Теперь найдем \(n\):

\[ n = \frac{360}{24} = 15 \]

Таким образом, правильный многоугольник имеет 15 сторон.

2. Правильный четырехугольник, вписанный в окружность, представляет собой квадрат. Для вписанного многоугольника длина стороны \(a\) и радиус окружности \(R\) связаны следующим образом:

\[ a = R\sqrt{2} \]

Где \(a = 2\). Найдем радиус:

\[ R = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \]

Теперь найдем радиус для описанного четырехугольника (квадрат). Длина его стороны \(b\) связана с радиусом описанной окружности \(R\):

\[ R = \frac{b\sqrt{2}}{2} \]

Подставим найденный радиус \(R = \sqrt{2}\):

\[ \sqrt{2} = \frac{b\sqrt{2}}{2} \]

Умножим обе стороны на 2:

\[ 2\sqrt{2} = b\sqrt{2} \]

Теперь делим на \(\sqrt{2}\):

\[ b = 2 \]

Сторона правильного четырехугольника, описанного около той же окружности, равна 2.

3. Площадь правильного треугольника со стороной \(a = \frac{4}{3}\):

\[ S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{16}{9} = \frac{4\sqrt{3}}{9} \]

Теперь найдем радиус окружности, вписанной в этот треугольник:

\[ r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{\left(\frac{4}{3}\right)\sqrt{3}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{18} = \frac{2\sqrt{3}}{9} \]

Теперь этот радиус станет радиусом окружности, в которую вписан правильный шестиугольник. Площадь правильного шестиугольника со стороной \(b\) рассчитывается следующим образом:

\[ S_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}b^2 \]

Радиус связи (R) для правильного шестиугольника и его стороны:

\[ R = \frac{b\sqrt{3}}{3} \]

Так как \(R = \frac{2\sqrt{3}}{9}\), подставляем:

\[ \frac{2\sqrt{3}}{9} = \frac{b\sqrt{3}}{3} \]

Умножаем обе стороны на 3:

\[ \frac{2\sqrt{3}}{3} = b\sqrt{3} \]

Делим на \(\sqrt{3}\):

\[ b = \frac{2}{3} \]

Теперь подставим значение \(b\) в формулу для площади шестиугольника:

\[ S_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{9} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \]

Таким образом, площади фигур:

• Площадь правильного треугольника \(S_1 = \frac{4\sqrt{3}}{9}\)
• Площадь правильного шестиугольника \(S_2 = \frac{2\sqrt{3}}{3}\)