В треугольнике у нас есть два угла: 60 градусов и 45 градусов. Чтобы найти третий угол, вспомним, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусам.
Третий угол:
[
180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ
]
Теперь у нас есть треугольник с углами 60°, 45° и 75°. Мы знаем, что сторона, лежащая против угла в 45 градусов, равна (7\sqrt{2}) см. Эта сторона обозначается как (a).
Теперь мы можем использовать закон синусов, который гласит, что отношение стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон треугольника:
[
\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}
]
Где:
- ( A = 45^\circ )
- ( B = 60^\circ )
- ( C = 75^\circ )
Теперь подставим известные значения:
[
\frac{7\sqrt{2}}{\sin(45^\circ)} = \frac{b}{\sin(60^\circ)}
]
Зная, что (\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}) и (\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}), подставим их в формулу:
[
\frac{7\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}
]
Упростим левую часть:
[
7\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 14
]
Теперь у нас есть равенство:
[
14 = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}
]
Переписываем для нахождения (b):
[
b = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
]
Следовательно,
[
b = 7\sqrt{3}
]
Таким образом, сторона (b), лежащая против угла в 60 градусов, равна (7\sqrt{3}) см.
