Решим задачу шаг за шагом.
Пусть расстояние от точки А до точки В равно (D) километров. Скорость первого автомобиля обозначим как (v_1) км/ч.
В этом случае первый автомобиль проезжает весь путь с постоянной скоростью (v_1), и время, которое он затрачивает на путь, можно выразить как:
[
t_1 = \frac{D}{v_1}
]
Теперь рассмотрим второй автомобиль. Он проехал первую половину пути ((\frac{D}{2})) со скоростью 63 км/ч, и время, необходимое для этого, будет равно:
[
t_2 = \frac{\frac{D}{2}}{63} = \frac{D}{126}
]
Вторую половину пути он проехал со скоростью (v_1 + 12) км/ч, и время, затраченное на эту часть, будет равно:
[
t_3 = \frac{\frac{D}{2}}{v_1 + 12} = \frac{D}{2(v_1 + 12)}
]
Теперь общее время, затраченное вторым автомобилем, можно выразить как:
[
t_2 + t_3 = \frac{D}{126} + \frac{D}{2(v_1 + 12)}
]
Поскольку оба автомобиля прибыли в пункт В одновременно, мы можем приравнять времена:
[
\frac{D}{v_1} = \frac{D}{126} + \frac{D}{2(v_1 + 12)}
]
Сократим (D) (при условии, что (D \neq 0)):
[
\frac{1}{v_1} = \frac{1}{126} + \frac{1}{2(v_1 + 12)}
]
Теперь перемножим все уравнение на (2v_1(v_1 + 12) \cdot 126), чтобы избавиться от дробей:
[
2(v_1 + 12) \cdot 126 = 2v_1 \cdot 126 + v_1(v_1 + 12)
]
Раскроем скобки:
[
252v_1 + 3024 = 252v_1 + v_1^2 + 12v_1
]
Сократим (252v_1) с обеих сторон:
[
3024 = v_1^2 + 12v_1
]
Переносим всё в одну сторону:
[
v_1^2 + 12v_1 - 3024 = 0
]
Теперь применим формулу дискримината:
[
D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3024) = 144 + 12096 = 12120
]
Теперь находим корни:
[
v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 \pm \sqrt{12120}}{2}
]
Находим квадратный корень:
[
\sqrt{12120} \approx 110
]
Следовательно, корни будут:
[
v_1 \approx \frac{-12 + 110}{2} \quad \text{и} \quad v_1 \approx \frac{-12 - 110}{2}
]
Второй корень отрицательный, что не имеет физического смысла для скорости. Таким образом:
[
v_1 \approx \frac{98}{2} = 49 \text{ км/ч}
]
Скорость первого автомобиля составляет 49 км/ч.
