23. Окружность с центром на стороне МК треугольника MNK проходит через вершину К и касается прямой MN в точке N. Найди MK, если диаметр окружности равен 18, а MN = 12.

Для решения данной задачи сначала проанализируем условия. У нас есть треугольник \( MNK \), где окружность, имеющая диаметр 18, проходит через вершину \( K \) и касается стороны \( MN \) в точке \( N \). 1. **Найдем радиус окружности.** Диаметр окружности равен 18, следовательно, радиус \( R \) равен половине диаметра: \[ R = \frac{18}{2} = 9. \] 2. **Определим расположение окружности.** Поскольку окружность касается прямой \( MN \) в точке \( N \), расстояние от центра окружности до прямой \( MN \) равно радиусу, то есть 9. 3. **Обозначим центр окружности как \( O \) и рассмотрим треугольник \( MON \), где \( O \) — центр окружности, \( M \) и \( N \) — точки на прямой \( MN \). Таким образом, \( ON \) перпендикулярно \( MN \) и \( ON = R = 9 \). 4. **Используем теорему Пифагора в треугольнике \( OMN \)**. Обозначим длину отрезка \( MK \) как \( x \). Мы знаем, что \( MN = 12 \) и расстояние \( ON = 9 \). Исходя из этого, можем рассмотреть треугольник \( OMN \): \[ OM = ON^2 + MN^2, \] где \( OM = x \). Так как \( MN \) — это основание треугольника, а \( ON \) — перпендикуляр к нему, по теореме Пифагора имеем: \[ x^2 = ON^2 + MN^2, \] То есть: \[ x^2 = 9^2 + 12^2. \] 5. **Посчитаем значения:** \[ x^2 = 81 + 144, \] \[ x^2 = 225. \] 6. **Найдем \( x \):** \[ x = \sqrt{225} = 15. \] Таким образом, длина отрезка \( MK \) равна 15.