Чтобы решить систему уравнений
[
\begin{cases}
16x^2 + 8xy + y^2 = 36 \
3x - y = 8
\end{cases}
]
начнем с того, что выразим (y) из второго уравнения:
[
y = 3x - 8.
]
Теперь подставим (y) в первое уравнение:
[
16x^2 + 8x(3x - 8) + (3x - 8)^2 = 36.
]
Раскроем скобки:
[
16x^2 + 8x(3x) - 8 \cdot 8x + (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 8 + 8^2 = 36.
]
Упрощая, получаем:
[
16x^2 + 24x^2 - 64x + 9x^2 - 48x + 64 = 36.
]
Теперь объединим похожие члены:
[
(16 + 24 + 9)x^2 + (-64 - 48)x + 64 = 36.
]
Это упростится до:
[
49x^2 - 112x + 64 = 36.
]
Переносим 36 в левую часть:
[
49x^2 - 112x + 28 = 0.
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac,
]
где (a = 49), (b = -112), (c = 28):
[
D = (-112)^2 - 4 \cdot 49 \cdot 28 = 12544 - 5496 = 7048.
]
Теперь найдем корни:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{112 \pm \sqrt{7048}}{98}.
]
Корень из 7048 можно упростить. Найдем корень:
[
\sqrt{7048} \approx 83.86.
]
Теперь подставим обратно:
[
x = \frac{112 \pm 83.86}{98}.
]
Таким образом, получаем два значения для (x):
- (x_1 = \frac{195.86}{98} \approx 2.00)
- (x_2 = \frac{28.14}{98} \approx 0.29)
Теперь найдем соответствующие значения (y) для этих (x):
- Для (x_1 \approx 2.00):
[
y_1 = 3(2.00) - 8 \approx -2.00.
]
- Для (x_2 \approx 0.29):
[
y_2 = 3(0.29) - 8 \approx -7.13.
]
Таким образом, решение системы уравнений:
[
\begin{cases}
(x_1, y_1) \approx (2.00, -2.00) \
(x_2, y_2) \approx (0.29, -7.13)
\end{cases}
]
