Решите систему уравнений { 16х2 + 8ху + у2 = 36, { 3х – у = 8.
Чтобы решить систему уравнений
\[ \begin{cases} 16x^2 + 8xy + y^2 = 36 \\ 3x - y = 8 \end{cases} \]
начнем с того, что выразим \(y\) из второго уравнения:
\[ y = 3x - 8. \]
Теперь подставим \(y\) в первое уравнение:
\[ 16x^2 + 8x(3x - 8) + (3x - 8)^2 = 36. \]
Раскроем скобки:
\[ 16x^2 + 8x(3x) - 8 \cdot 8x + (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 8 + 8^2 = 36. \]
Упрощая, получаем:
\[ 16x^2 + 24x^2 - 64x + 9x^2 - 48x + 64 = 36. \]
Теперь объединим похожие члены:
\[ (16 + 24 + 9)x^2 + (-64 - 48)x + 64 = 36. \]
Это упростится до:
\[ 49x^2 - 112x + 64 = 36. \]
Переносим 36 в левую часть:
\[ 49x^2 - 112x + 28 = 0. \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac, \] где \(a = 49\), \(b = -112\), \(c = 28\):
\[ D = (-112)^2 - 4 \cdot 49 \cdot 28 = 12544 - 5496 = 7048. \]
Теперь найдем корни:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{112 \pm \sqrt{7048}}{98}. \]
Корень из 7048 можно упростить. Найдем корень:
\[ \sqrt{7048} \approx 83.86. \]
Теперь подставим обратно:
\[ x = \frac{112 \pm 83.86}{98}. \]
Таким образом, получаем два значения для \(x\):
- \(x_1 = \frac{195.86}{98} \approx 2.00\)
- \(x_2 = \frac{28.14}{98} \approx 0.29\)
Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для этих \(x\):
- Для \(x_1 \approx 2.00\):
\[ y_1 = 3(2.00) - 8 \approx -2.00. \]
- Для \(x_2 \approx 0.29\):
\[ y_2 = 3(0.29) - 8 \approx -7.13. \]
Таким образом, решение системы уравнений:
\[ \begin{cases} (x_1, y_1) \approx (2.00, -2.00) \\ (x_2, y_2) \approx (0.29, -7.13) \end{cases} \]
