Давайте решим вашу задачу step by step.
Пусть труба А — это труба, которая заливает цистерну быстрее, а труба Б — труба, которая заливает ее медленнее.
Обозначим время, за которое труба Б заполняет цистерну, как ( x ) часов. Тогда труба А будет заполнять цистерну за ( x - 3 ) часа (так как ей требуется на 3 часа меньше).
Согласно условию, обе трубы, работающие одновременно, заливают цистерну за 2 часа.
Сначала найдем объем, который заливают обе трубы за один час:
- Труба А за 1 час заливает ( \frac{1}{x - 3} ) цистерны,
- Труба Б за 1 час заливает ( \frac{1}{x} ) цистерны.
Объединяя их действия, мы получаем:
[
\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x} = \frac{1}{2}.
]
Теперь решим это уравнение. Для начала уберем дроби, умножив обе стороны на ( 2x(x - 3) ):
[
2x + 2(x - 3) = x(x - 3).
]
Раскроем скобки:
[
2x + 2x - 6 = x^2 - 3x.
]
Далее, соберем все с одной стороны:
[
0 = x^2 - 3x - 4x + 6,
]
что упрощается до:
[
x^2 - 7x + 6 = 0.
]
Теперь решим это квадратное уравнение. Используем формулу корней для квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0):
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.
]
В нашем случае ( a = 1, b = -7, c = 6 ):
[
x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{7 \pm 5}{2}.
]
Это даст нам два решения:
- ( x = \frac{12}{2} = 6 ),
- ( x = \frac{2}{2} = 1 ).
Теперь мы расмотрим оба значения:
- Если ( x = 6), то труба Б заполняет цистерну за 6 часов, а труба А — за ( 6 - 3 = 3 ) часа.
- Если ( x = 1), то труба Б заполняет цистерну за 1 час, что не может быть верным, так как в этом случае труба А заполняла бы за отрицательное время.
Таким образом, правильный ответ: труба Б заполняет цистерну за 6 часов, а труба А — за 3 часа.
