В ромбе ABCD diagonals пересекаются в точке O и делят друг друга пополам. Поскольку ромб является частным случаем параллелограмма, то его диагонали перпендикулярны и делят углы.
Давайте рассмотрим ваше утверждение: у нас есть точка K на стороне AB, такая что BK = KA. Это означает, что K делит отрезок AB пополам, или же K является серединой отрезка AB.
- Векторы ( \vec{a} ) и ( \vec{b} ) обозначают ( \vec{CB} ) и ( \vec{CD} ) соответственно.
Обозначим векторы:
- ( \vec{A} = \vec{0} ) (то есть начало координат в точке A)
- ( \vec{B} = \vec{a} )
- ( \vec{C} = \vec{a} + \vec{b} )
- ( \vec{D} = \vec{b} )
Поскольку K — середина отрезка AB, можно выразить вектор ( \vec{K} ):
[
\vec{K} = \frac{1}{2}(\vec{A} + \vec{B}) = \frac{1}{2}(\vec{0} + \vec{a}) = \frac{1}{2}\vec{a}
]
Теперь найдем вектор ( \vec{O} ), точку пересечения диагоналей. Так как O делит каждую диагональ пополам, можно написать:
[
\vec{O} = \frac{1}{2} (\vec{B} + \vec{D}) = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b})
]
Теперь найдем вектор ( \vec{CO} ):
[
\vec{CO} = \vec{O} - \vec{C} = \left( \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) \right) - (\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) - \left(\frac{2}{2}\vec{a} + \frac{2}{2}\vec{b}\right) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) - \frac{2}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = -\frac{3}{2}(\vec{a} + \vec{b})
]
Теперь найдем ( \vec{CK} ):
[
\vec{CK} = \vec{K} - \vec{C} = \left(\frac{1}{2}\vec{a}\right) - (\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{2}{2}\vec{a} - \frac{2}{2}\vec{b} = -\frac{3}{2}\vec{a} - \vec{b}
]
И, наконец, мы можем выразить вектор ( \vec{KD} ):
[
\vec{KD} = \vec{D} - \vec{K} = \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a} = \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}
]
Итак, ваши векторы:
- ( \vec{CO} = -\frac{3}{2}(\vec{a} + \vec{b}) )
- ( \vec{CK} = -\frac{3}{2}\vec{a} - \vec{b} )
- ( \vec{KD} = \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a} )
Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то не ясно, не стесняйтесь спрашивать!