Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о касательной к окружности. Напомним, что длина касательной, проведённой из точки к окружности, можно найти по формуле:
[ t = \sqrt{AB^2 - AC^2} ]
где ( t ) — длина касательной, ( AB ) — длина отрезка между точками A и B, ( AC ) — длина отрезка от точки A до точки C (радиус окружности).
Сначала вычислим длину отрезка ( AB ):
[ AB = AC + BC = 75 + 10 = 85. ]
Теперь подставим известные значения в формулу для длины касательной:
[ t = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{85^2 - 75^2}. ]
Сначала найдем ( 85^2 ) и ( 75^2 ):
[ 85^2 = 7225, ]
[ 75^2 = 5625. ]
Теперь подставим эти значения в формулу:
[ t = \sqrt{7225 - 5625} = \sqrt{1600} = 40. ]
Таким образом, длина отрезка касательной, проведенной из точки B к окружности, равна 40.