Чтобы решить эту задачу, необходимо использовать закон сохранения энергии. Когда груз падает на пружину, его потенциальная энергия превращается в потенциальную энергию сжатия пружины.
Рассчитаем потенциальную энергию груза на высоте ( h ):
[
E_p = mgh
]
где:
- ( m ) – масса груза,
- ( g ) – ускорение свободного падения (около ( 9,81 , \text{м/с}^2 )),
- ( h ) – высота, с которой падает груз.
Потенциальная энергия сжатия пружины при сжатии на ( x ) метров описывается формулой:
[
E_s = \frac{1}{2} k x^2
]
где:
- ( k ) – жесткость пружины,
- ( x ) – величина сжатия пружины.
Из условия задачи известно, что сжатие пружины на 0,005 м соответствует весу груза ( mg ):
[
mg = k \cdot x_{1} \quad \text{(где ( x_{1} = 0,005 , \text{м} ))}
]
Зная, что ( mg = k \cdot 0,005 ), мы можем выразить жесткость пружины ( k ):
[
k = \frac{mg}{0,005}
]
Теперь мы хотим узнать, с какой высоты нужно уронить груз, чтобы сжать пружину на 0,04 м:
[
mg = k \cdot x_{2} \quad \text{(где ( x_{2} = 0,04 , \text{м} ))}
]
Подставим выражение для ( k ):
[
mg = \frac{mg}{0,005} \cdot 0,04
]
Отсюда можно упростить:
[
1 = \frac{0,04}{0,005}
]
[
1 = 8
]
Это указывает на то, что груз должен падать с высоты, в 8 раз большей чем высота, соответствующая сжатию на 0,005 м. Поскольку потенциальная энергия при сжатии на 0,04 м равна:
[
E_s = \frac{1}{2} k (0,04)^2
]
Используя соотношение ( h_2 = 8 \cdot 0,005 = 0,04 ), можем утверждать, что для сжатия пружины на 0,04 м груз должен падать с высоты 0,04 м.
Таким образом, груз должен падать с высоты 0,32 м (так как 0,04 м (\cdot) 8 = 0,32 м), чтобы сжать пружину на 0,04 м.