Чтобы найти длину второй хорды, воспользуемся свойством пересечения хорд в круге. Если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Давайте обозначим отрезки первой хорды как ( a = 20 ) см и ( b = 4 ) см. Тогда по формуле мы можем вычислить произведение отрезков первой хорды:
[
P_1 = a \cdot b = 20 \cdot 4 = 80 \text{ см}^2.
]
Теперь обозначим отрезки второй хорды как ( c ) и ( d ), где один отрезок меньше другого на 2 см. То есть, можно записать:
[
d = c + 2.
]
Произведение отрезков второй хорды будет:
[
P_2 = c \cdot d = c \cdot (c + 2).
]
Теперь приравняем произведения отрезков обеих хорд:
[
c(c + 2) = 80.
]
Раскроем скобки и получим квадратное уравнение:
[
c^2 + 2c - 80 = 0.
]
Теперь можем решить это уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324.
]
Теперь находим корни уравнения:
[
c = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 18}{2}.
]
Это дает два решения:
[
c_1 = \frac{16}{2} = 8 \text{ см}, \quad c_2 = \frac{-20}{2} = -10 \text{ см}.
]
Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, мы принимаем ( c = 8 ) см.
Теперь можем найти значение ( d ):
[
d = c + 2 = 8 + 2 = 10 \text{ см}.
]
Теперь находим длину второй хорды, которая равна сумме отрезков:
[
\text{Длина второй хорды} = c + d = 8 + 10 = 18 \text{ см}.
]
Итак, длина второй хорды составляет 18 см.
