В треугольнике A B C ABC угол C C прямой, A C = 3 , AC=3, B C = 4. BC=4. Найдите длину вектора C A → − B A → . CA − BA .

В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) является прямым, поэтому мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения сторон и векторов.

Дано:

• \(AC = 3\)
• \(BC = 4\)

Сначала найдем длину стороны \(AB\) с помощью теоремы Пифагора:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставляем известные значения:

\[ AB^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \]

Отсюда находим:

\[ AB = \sqrt{25} = 5 \]

Теперь обозначим вектора:

• \( \vec{CA} \) из точки \(C\) в точку \(A\),
• \( \vec{BA} \) из точки \(B\) в точку \(A\).

Длину вектора \( \vec{CA} \) можно представить как \( \vec{CA} = A - C \). Если положить точку \(C\) в начало координат, то:

• \(C(0, 0)\)
• \(A(3, 0)\) (так как \(AC = 3\))
• \(B(0, 4)\) (так как \(BC = 4\) и угол \(C\) прямой).

Теперь находим векторы:

• \( \vec{CA} = A - C = (3 - 0, 0 - 0) = (3, 0) \)
• \( \vec{BA} = A - B = (3 - 0, 0 - 4) = (3, -4) \)

Теперь, чтобы найти вектор \( \vec{CA} - \vec{BA} \), вычисляем:

\[ \vec{CA} - \vec{BA} = (3, 0) - (3, -4) = (3 - 3, 0 - (-4)) = (0, 4) \]

Длина вектора \( \vec{CA} - \vec{BA} \) равна:

\[ ||\vec{CA} - \vec{BA}|| = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4 \]

Таким образом, длина вектора \( \vec{CA} - \vec{BA} \) равна \(4\).