В правильной треугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 30°. Сторона основания равна 12 см. Найдите площадь поверхности пирамиды

Для решения задачи о нахождении площади поверхности правильной треугольной пирамиды, давайте разберем её шаг за шагом.

Правильная треугольная пирамида имеет треугольное основание, а также три треугольные боковые грани. Чтобы найти площадь поверхности пирамиды, нам нужно знать площадь основания и площади боковых сторон.

1. Площадь основания: Основание пирамиды является равносторонним треугольником со стороной 12 см. Площадь \( S_{осн} \) равностороннего треугольника можно найти по формуле: \[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] где \( a \) – длина стороны треугольника. Подставляем \( a = 12 \) см: \[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (12)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 144 = 36\sqrt{3} \text{ см}^2. \]

2. Площадь боковых граний: Для нахождения площади боковой грани, которая является равнобедренным треугольником, нам нужно знать высоту этого треугольника. Высота бокового треугольника можно найти через апофему (обозначим её \( h \)) и угол 30°. Использую отношение: \[ \tan(30^\circ) = \frac{h_{бок}}{6} \quad (\text{где } 6 \text{ см - это половина стороны основание }). \] Следовательно, \[ h_{бок} = 6 \cdot \tan(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ см}. \]

   Площадь одной боковой грани \( S_{бок} \) равнобедренного треугольника может быть рассчитана по формуле: \[ S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot a_{осн} \cdot h_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \text{ см}^2. \]

   Так как у нас три боковые грани, общая площадь \( S_{бок. общ} \): \[ S_{бок. общ} = 3 \cdot S_{бок} = 3 \cdot 12\sqrt{3} = 36\sqrt{3} \text{ см}^2. \]

3. Общая площадь поверхности: Теперь, чтобы найти общую площадь поверхности пирамиды \( S_{общ} \), складываем площади основания и боковых сторон: \[ S_{общ} = S_{осн} + S_{бок. общ} = 36\sqrt{3} + 36\sqrt{3} = 72\sqrt{3} \text{ см}^2. \]

Таким образом, площадь поверхности правильной треугольной пирамиды составляет \( 72\sqrt{3} \) см².