Для решения задачи необходимо использовать свойства описанной окружности и отношения длины дуг.
Обозначим длины дуг окружности, соответствующие углам треугольника, как ( 3k ), ( 4k ) и ( 11k ). Сумма этих длины равна окружности описанной окружности:
[
3k + 4k + 11k = 18k.
]
Согласно теореме о соотношении между длиной дуги и углом, который ей противолежит, углы треугольника соотносятся с длинами дуг. Значит, мы можем определить углы:
- Угол ( A ) (против угла, соответствующего дуге ( 3k )): ( \alpha = \frac{3k}{18k} \cdot 360^\circ = 60^\circ ).
- Угол ( B ) (против дуги ( 4k )): ( \beta = \frac{4k}{18k} \cdot 360^\circ = 80^\circ ).
- Угол ( C ) (против дуги ( 11k )): ( \gamma = \frac{11k}{18k} \cdot 360^\circ = 220^\circ ).
Однако, так как сумма углов в треугольнике всегда равна ( 180^\circ ), а здесь ( \gamma ) тоже должен был стать ( 40^\circ ) ( ( 180^\circ - 60^\circ - 80^\circ )).
Теперь, зная, что меньшая сторона равна ( 14 ), мы можем использовать формулу для радиуса ( R ) описанной окружности:
[
R = \frac{a}{2 \sin A},
]
где ( a ) — длина стороны, против которой расположен угол ( A ) (в данном случае это сторона, равная ( 14 ), которая против угла ( 60^\circ )).
Таким образом, подставим значения:
[
R = \frac{14}{2 \sin(60^\circ)}.
]
Зная, что ( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ), получаем:
[
R = \frac{14}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14}{\sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{3}}{3}.
]
Итак, радиус окружности равен ( \frac{14\sqrt{3}}{3} ).
