6 sin^2 x - 5 sin ( (3 π)/2 - x ) = 7

Чтобы решить уравнение \(6 \sin^2 x - 5 \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = 7\), сначала упростим вторую часть, используя свойства тригонометрических функций.

Мы знаем, что: \[ \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos x. \] Подставим это в уравнение:

\[ 6 \sin^2 x - 5(-\cos x) = 7, \] что можно переписать как: \[ 6 \sin^2 x + 5 \cos x = 7. \]

Теперь воспользуемся тождеством \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), чтобы выразить \(\cos x\) через \(\sin^2 x\): \[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \quad \Rightarrow \quad \cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} \quad \text{или} \quad \cos x = -\sqrt{1 - \sin^2 x}. \]

Тем временем, обозначим \(\sin^2 x = y\). Поскольку \(\cos^2 x = 1 - y\), \(\cos x\) можно выразить так: \[ \cos x = \sqrt{1 - y} \quad \text{или} \quad \cos x = -\sqrt{1 - y}. \]

Теперь вернемся к нашему уравнению: \[ 6y + 5 \sqrt{1 - y} = 7. \] Решим это уравнение для первого случая, где \(\cos x = \sqrt{1 - y}\): \[ 5 \sqrt{1 - y} = 7 - 6y. \] Теперь позволим возвести обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня: \[ 25(1 - y) = (7 - 6y)^2. \] Раскроем правую часть: \[ 25 - 25y = 49 - 84y + 36y^2. \] Соберем все на одной стороне уравнения: \[ 36y^2 - 59y + 24 = 0. \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-59)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 24. \] Посчитаем: \[ D = 3481 - 3456 = 25. \]

Теперь находим корни: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{59 \pm 5}{72}. \]

1. \(y_1 = \frac{64}{72} = \frac{8}{9}\).
2. \(y_2 = \frac{54}{72} = \frac{3}{4}\).

Теперь, так как \(y = \sin^2 x\), найдем значения синуса:

1. \(\sin^2 x = \frac{8}{9}\) \(\Rightarrow \sin x = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}\).
2. \(\sin^2 x = \frac{3}{4} \) \(\Rightarrow \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Теперь, чтобы найти значения \(x\):

1. Для \(\sin x = \frac{2\sqrt{2}}{3}\) рассматриваем \(\sin^{-1}\) для двух случаев в пределах \(0 \leq x < 2\pi\).
2. Для \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) решения: \(x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\) и \(x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\).

Таким образом, итоговые решения будут зависеть от того, в каких интервалах мы рассматриваем \(x\). Надеюсь, это поможет вам в изучении тригонометрических уравнений!