В треугольнике АВС на продолжении стороны АС за точкой С отложена точка М так, что МС:АС=3:1. Н середина АВ. МН пересекает ВС в точке О. Найдите отношение площадей треугольников…

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами треугольников и отношениями площадей.

1. Обозначим длину отрезка AC как \( x \). Поскольку отложенная точка M такова, что \( MC : AC = 3 : 1 \), значит: \[ MC = 3x \quad \text{и} \quad AC = x. \] Таким образом, полный отрезок AM составляет: \[ AM = AC + MC = x + 3x = 4x. \]

2. Поскольку N — это середина отрезка AB, то отношения площадей треугольников SAB и СN задаются равенством: \[ S_{SAB} : S_{SNC} = AB : NC. \] Так как N — середина AB, то \( AB : AN = 1 : 1 \).

3. Теперь давайте определим, как M и N делят стороны треугольника. Точка O является пересечением MN и BC. Для нахождения отношения площадей треугольников \( S_{SAB} : S_{SOCM} \), необходимо учесть, что площади похожих треугольников пропорциональны квадратам их соответствующих сторон.

4. Поскольку MN соединяет точку N (середину AB) и точку M, а M находится на продолжении AC, это влияет на положение точки O. Известно, что отношение отрезков AC и CM составляет 1:3, значит треугольники SOCM и SOC разделяют площадь в пропорции 1:4, так как S соответствует M и C.

5. Запишем итоговое отношение площадей треугольников: \[ S_{SAB} : S_{SOCM} = S_{SAB} : (S_{SOC} + S_{SCM}) = 1:3. \]

Таким образом, искомое отношение площадей треугольников \( S_{SAB} : S_{SOCM} \) составляет \( 1 : 3 \).