Для решения этой задачи воспользуемся формулой площади прямоугольного треугольника и свойствами треугольника, в котором один из острых углов равен 60°.
Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:
[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b ]
где ( a ) и ( b ) — длины катетов.
В нашем случае площадь треугольника равна ( \frac{3200\sqrt{3}}{3} ).
Также мы знаем, что один из острых углов равен 60°. Если обозначить катет, лежащий против угла в 60°, как ( a ), а другой катет — как ( b ), то по свойствам треугольника имеем:
[ b = a \cdot \tan(60^\circ) = a \cdot \sqrt{3} ]
Теперь подставим это значение в формулу площади:
[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a \cdot \sqrt{3}) = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sqrt{3} ]
Таким образом, мы можем сказать, что:
[ \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sqrt{3} = \frac{3200\sqrt{3}}{3} ]
Теперь избавимся от (\sqrt{3}) с обеих сторон:
[ \frac{1}{2} a^2 = \frac{3200}{3} ]
Умножим обе стороны на 2:
[ a^2 = \frac{6400}{3} ]
Теперь возьмем корень из обеих сторон, чтобы найти значение ( a ):
[ a = \sqrt{\frac{6400}{3}} = \frac{80}{\sqrt{3}} ]
Для удобства можно рационализировать знаменатель:
[ a = \frac{80\sqrt{3}}{3} ]
Таким образом, длина катета, лежащего против угла в 60°, составляет ( \frac{80\sqrt{3}}{3} ).
