Давайте решим каждую из поставленных задач по очереди.
1. Треугольник ABC, угол A = 45°, угол B = 60°, BC = 3√6. Найти AC.
Для начала найдем угол C:
[
C = 180° - A - B = 180° - 45° - 60° = 75°
]
Теперь применим теорему синусов:
[
\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}
]
Подставим известные значения:
[
\frac{AC}{\sin 60°} = \frac{3\sqrt{6}}{\sin 45°}
]
[
\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}
]
Теперь подставим значения синусов в уравнение:
[
\frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}
]
Упростим уравнение:
[
\frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 3\sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{12} = 6\sqrt{3}
]
Теперь найдем AC:
[
AC = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9
]
Таким образом, AC = 9.
2. Треугольник ABC, AB = 8, BC = 10, AC = 12. Найти cos ∠ABC.
Используем теорему косинусов:
[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C
]
где (a = AC, b = AB, c = BC).
Подставим значения:
[
10^2 = 12^2 + 8^2 - 2 \cdot 12 \cdot 8 \cdot \cos \angle ABC
]
Упростим:
[
100 = 144 + 64 - 192 \cdot \cos \angle ABC
]
[
100 = 208 - 192 \cdot \cos \angle ABC
]
[
192 \cdot \cos \angle ABC = 208 - 100
]
[
192 \cdot \cos \angle ABC = 108
]
[
\cos \angle ABC = \frac{108}{192} = \frac{9}{16}
]
Таким образом, cos ∠ABC = 9/16.
3. Треугольник ABC, угол A = 30°, угол B = 45°, BC = 8√2. Найти AC.
Сначала найдем угол C:
[
C = 180° - A - B = 180° - 30° - 45° = 105°
]
Применим теорему синусов:
[
\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}
]
[
\frac{AC}{\sin 45°} = \frac{8\sqrt{2}}{\sin 30°}
]
Подставим значения:
[
\frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}
]
Упростим уравнение:
[
\frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 16\sqrt{2}
]
Теперь найдем AC:
[
AC = 16\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 16
]
Таким образом, AC = 16.
4. Треугольник ABC, AB = 8, BC = 10, AC = 14. Найти cos ∠ABC.
Снова применим теорему косинусов:
[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C
]
Где (a = AC, b = AB, c = BC).
Подставим значения в формулу:
[
10^2 = 14^2 + 8^2 - 2 \cdot 14 \cdot 8 \cdot \cos \angle ABC
]
Упростим:
[
100 = 196 + 64 - 224 \cdot \cos \angle ABC
]
[
100 = 260 - 224 \cdot \cos \angle ABC
]
[
224 \cdot \cos \angle ABC = 260 - 100
]
[
224 \cdot \cos \angle ABC = 160
]
[
\cos \angle ABC = \frac{160}{224} = \frac{20}{28} = \frac{5}{7}
]
Таким образом, cos ∠ABC = 5/7.
Если у вас есть дополнительные вопросы или нуждаетесь в помощи по другим задачам, дайте знать!
