найти уравнение касательно к кривой y=f(x) в точке M, если: y=3x-4/2x-3, M(2.2)

Для нахождения уравнения касательной к кривой \( y = f(x) \) в точке \( M(2, 2) \) сначала необходимо выполнить несколько шагов.

1. Проверим, находится ли точка \( M(2, 2) \) на графике функции \( y = f(x) \). Подставим \( x = 2 \) в уравнение функции:

\[ f(2) = \frac{3 \cdot 2 - 4}{2 \cdot 2 - 3} = \frac{6 - 4}{4 - 3} = \frac{2}{1} = 2. \]

Таким образом, точка \( M(2, 2) \) действительно лежит на кривой.

2. Найдем производную функции \( f(x) \) для определения углового коэффициента касательной. Для функции \( f(x) = \frac{3x - 4}{2x - 3} \) мы будем использовать правило дифференцирования для дроби:

\[ f'(x) = \frac{(2x - 3)(3) - (3x - 4)(2)}{(2x - 3)^2}. \]

Упростим числитель:

\[ f'(x) = \frac{(6x - 9) - (6x - 8)}{(2x - 3)^2} = \frac{6x - 9 - 6x + 8}{(2x - 3)^2} = \frac{-1}{(2x - 3)^2}. \]

Теперь найдем производную в точке \( x = 2 \):

\[ f'(2) = \frac{-1}{(2 \cdot 2 - 3)^2} = \frac{-1}{(4 - 3)^2} = \frac{-1}{1^2} = -1. \]

3. Теперь можем составить уравнение касательной к графику в точке \( M(2, 2) \). Угловой коэффициент \( k = -1 \), и у нас есть точка \( (2, 2) \). Используем уравнение касательной, записанное в форме \( y - y_0 = k(x - x_0) \):

\[ y - 2 = -1(x - 2). \]

Упрощая уравнение, получаем:

\[ y - 2 = -x + 2 \implies y = -x + 4. \]

4. Ответ: Уравнение касательной к кривой \( y = \frac{3x - 4}{2x - 3} \) в точке \( M(2, 2) \) имеет вид:

\[ y = -x + 4. \]