y=12x-1/x

Привет! Давай разберемся с задачей.

У тебя есть функция \( y = 12x - \frac{1}{x} \).

4.5. Нужно найти \( f'(2) \), если \( f(x) = \ln(1 + 2^x) \).

4.7. Найти уравнение касательной к кривой \( y = \frac{x - 3}{x + 4} \) в точке \( M(2, 5) \).

4.5. Найти \( f'(2) \)

Для функции \( f(x) = \ln(1 + 2^x) \) найдём производную.

1. Вспомним, что производная от \(\ln(u)\) равна \( \frac{1}{u} \cdot u' \).
2. Для \( u = 1 + 2^x \), производная \( u' \) будет \( 2^x \cdot \ln(2) \).
3. Значит производная \( f'(x) = \frac{2^x \cdot \ln(2)}{1 + 2^x} \).
4. Подставляем \( x = 2 \): \( f'(2) = \frac{2^2 \cdot \ln(2)}{1 + 2^2} = \frac{4 \ln(2)}{5} \).

4.7. Уравнение касательной

Для уравнения касательной нужно:

1. Найти производную \( y \) по \( x \).
2. Взять производную \( y = \frac{x - 3}{x + 4} \) используя правило частного.
3. Производная будет: \( y' = \frac{(x + 4) \cdot 1 - (x - 3) \cdot 1}{(x + 4)^2} = \frac{7}{(x + 4)^2} \).
4. Подставить \( x = 2 \) в производную: \( y'(2) = \frac{7}{6^2} = \frac{7}{36} \).
5. Используем уравнение касательной: \( y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0) \) с \( x_0 = 2, y_0 = 5 \).

Итак, уравнение касательной:

\[ y - 5 = \frac{7}{36}(x - 2) \]

Надеюсь, это поможет! Если есть вопросы, пиши.