Доказать, что плошадь ромба равна половине произведения его диагонали. Вычислить плошадь ромба, если его диагонали равна: а) 3,2 дм и 14 см; б) 4,6 дм и 2 дм.
Чтобы доказать, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей, необходимо воспользоваться формулой для площади. Площадь ромба может быть найдена по следующей формуле:
\[ S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \]
где \( S \) — площадь ромба, \( d_1 \) и \( d_2 \) — длины диагоналей.
Доказательство:
Ромб — это четырехугольник, у которого все стороны равны, и его диагонали пересекаются под прямым углом.
При пересечении диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.
Каждая диагональ является основанием и высотой одного из этих треугольников.
Площадь одного из треугольников можно вычислить по формуле:
\[ S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot \frac{d_2}{2} = \frac{d_1 \cdot d_2}{4} \]
Так как ромб состоит из четырех таких треугольников, то общая площадь ромба будет равна:
\[ S = 4 \cdot S_{\triangle} = 4 \cdot \frac{d_1 \cdot d_2}{4} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \]
Таким образом, мы подтвердили, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Вычисление площади ромба:
Теперь вычислим площадь ромба для предложенных значений диагоналей.
а) \( d_1 = 3,2 \, \text{дм} = 32 \, \text{см} \) и \( d_2 = 14 \, \text{см} \)
Площадь \( S \):
\[ S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{32 \, \text{см} \cdot 14 \, \text{см}}{2} \]
\[ = \frac{448 \, \text{см}^2}{2} = 224 \, \text{см}^2 \]
б) \( d_1 = 4,6 \, \text{дм} = 46 \, \text{см} \) и \( d_2 = 2 \, \text{дм} = 20 \, \text{см} \)
Площадь \( S \):
\[ S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{46 \, \text{см} \cdot 20 \, \text{см}}{2} \]
\[ = \frac{920 \, \text{см}^2}{2} = 460 \, \text{см}^2 \]
Ответы:
а) Площадь ромба с диагоналями 3,2 дм и 14 см равна \( 224 \, \text{см}^2 \). б) Площадь ромба с диагоналями 4,6 дм и 2 дм равна \( 460 \, \text{см}^2 \).
