решите биквадратное уравнение x(в четвертой степени)-4x(в квадрате)-45=0
Чтобы решить биквадратное уравнение \( x^4 - 4x^2 - 45 = 0 \), начнем с того, что сделаем замену переменной. Обозначим \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:
\[ y^2 - 4y - 45 = 0 \]
Теперь это обычное квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы корней:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = -45 \). Теперь подставим эти значения в формулу:
Вычислим дискриминант: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196 \]
Теперь найдем корни: \[ y_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 14}{2} = \frac{18}{2} = 9 \] \[ y_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 14}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]
Теперь у нас есть два значения для \( y \):
- \( y_1 = 9 \)
- \( y_2 = -5 \)
Так как \( y = x^2 \), нам нужно рассмотреть только те значения, которые могут быть неотрицательными. Значение \( y_2 = -5 \) не подходит, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Поэтому рассматриваем только \( y_1 = 9 \).
Теперь вернемся к переменной \( x \):
\[ x^2 = 9 \]
Отсюда получаем два решения:
\[ x = 3 \quad \text{и} \quad x = -3 \]
Таким образом, окончательные корни исходного биквадратного уравнения:
\[ x = 3 \quad \text{и} \quad x = -3 \]
Если есть дополнительные вопросы по этой теме или другим математическим задачам, не стесняйтесь спрашивать!
