На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки E и F так, что AE : EB = 7 : 2, AF : FD = 5 : 1. Выразите вектор EF через векторы CD = а и CB = b
Для решения задачи необходимо использовать векторы и соотношения, заданные в вопросе.
Пусть вектор \( \vec{A} \) соответствует точке A, тогда можно выразить другие точки параллелограмма через векторные обозначения.
Обозначим:
- Вектор \( \vec{B} = \vec{A} + \vec{b} \) (точка B)
- Вектор \( \vec{D} = \vec{A} + \vec{a} \) (точка D)
- Вектор \( \vec{C} = \vec{D} + \vec{b} = \vec{A} + \vec{a} + \vec{b} \) (точка C)
Теперь мы найдем векторы \( \vec{E} \) и \( \vec{F} \).
Вектор \( \vec{E} \): С учетом, что \( AE : EB = 7 : 2 \), это означает, что точка E делит отрезок AB в соотношении 7 к 2. Можно записать вектор E как: \[ \vec{E} = \frac{2\vec{A} + 7\vec{B}}{9} \] Подставим \( \vec{B} \): \[ \vec{E} = \frac{2\vec{A} + 7(\vec{A} + \vec{b})}{9} = \frac{2\vec{A} + 7\vec{A} + 7\vec{b}}{9} = \frac{9\vec{A} + 7\vec{b}}{9} = \vec{A} + \frac{7}{9}\vec{b} \]
Вектор \( \vec{F} \): Для точки F с соотношением \( AF : FD = 5 : 1 \): \[ \vec{F} = \frac{1\vec{A} + 5\vec{D}}{6} \] Подставим \( \vec{D} \): \[ \vec{F} = \frac{1\vec{A} + 5(\vec{A} + \vec{a})}{6} = \frac{1\vec{A} + 5\vec{A} + 5\vec{a}}{6} = \frac{6\vec{A} + 5\vec{a}}{6} = \vec{A} + \frac{5}{6}\vec{a} \]
Теперь найдем вектор \( \vec{EF} \): \[ \vec{EF} = \vec{F} - \vec{E} \] Подставляем выражения для \( \vec{F} \) и \( \vec{E} \): \[ \vec{EF} = \left( \vec{A} + \frac{5}{6}\vec{a} \right) - \left( \vec{A} + \frac{7}{9}\vec{b} \right) \] Сокращаем \( \vec{A} \): \[ \vec{EF} = \frac{5}{6}\vec{a} - \frac{7}{9}\vec{b} \]
Теперь найдем общий знаменатель для упрощения: Знаменатель 18: \[ \vec{EF} = \frac{15}{18}\vec{a} - \frac{14}{18}\vec{b} = \frac{15\vec{a} - 14\vec{b}}{18} \]
Таким образом, вектор \( \vec{EF} \) выражается через векторы \( \vec{CD} = \vec{a} \) и \( \vec{CB} = \vec{b} \) следующим образом: \[ \vec{EF} = \frac{15}{18}\vec{a} - \frac{14}{18}\vec{b} \] Это и есть окончательный ответ.
