Для того чтобы определить границы среднего размера домохозяйств с вероятностью 0.954, прежде всего, необходимо рассчитать среднее значение и стандартное отклонение размера домохозяйств по данным, предоставленным в выборке.
- Рассчитаем общее количество домохозяйств и их средний размер:
[
N = 35 + 94 + 167 + 53 + 12 + 7 + 4 + 1 = 373
]
- Вычислим средний размер домохозяйства (( \bar{x} )):
[
\bar{x} = \frac{(1 \cdot 35) + (2 \cdot 94) + (3 \cdot 167) + (4 \cdot 53) + (5 \cdot 12) + (6 \cdot 7) + (7 \cdot 4) + (8 \cdot 1)}{N}
]
[
\bar{x} = \frac{(35 + 188 + 501 + 212 + 60 + 42 + 28 + 8)}{373} = \frac{1074}{373} \approx 2.88
]
- Рассчитаем дисперсию и стандартное отклонение:
Сначала находим сумму квадратов отклонений от среднего:
[
S = \sum (x_i - \bar{x})^2 \cdot n_i
]
Где ( x_i ) — размер домохозяйства (1, 2, 3, и т.д.), ( n_i ) — количество домохозяйств соответствующего размера.
[
S = (1 - 2.88)^2 \cdot 35 + (2 - 2.88)^2 \cdot 94 + (3 - 2.88)^2 \cdot 167 + (4 - 2.88)^2 \cdot 53 + (5 - 2.88)^2 \cdot 12 + (6 - 2.88)^2 \cdot 7 + (7 - 2.88)^2 \cdot 4 + (8 - 2.88)^2 \cdot 1
]
[
S = (3.88^2 \cdot 35) + (0.88^2 \cdot 94) + (0.12^2 \cdot 167) + (1.12^2 \cdot 53) + (2.12^2 \cdot 12) + (3.12^2 \cdot 7) + (4.12^2 \cdot 4) + (5.12^2 \cdot 1)
]
Используем значения:
[
S \approx 147.52 + 68.48 + 0.24 + 63.08 + 53.35 + 67.13 + 68.25 + 26.18 \approx 410.29
]
Теперь нам нужно посчитать дисперсию (( \sigma^2 )):
[
\sigma^2 = \frac{S}{N} \approx \frac{410.29}{373} \approx 1.10
]
Следовательно, стандартное отклонение (( \sigma )):
[
\sigma \approx \sqrt{1.10} \approx 1.05
]
- Определяем границы среднего размера домохозяйств с доверительной вероятностью 0.954:
Для ( \alpha = 0.954 ), ( Z )-значение приближенно равно 1.96 (для нормального распределения).
- Расчет границ доверительного интервала:
[
I = \bar{x} \pm Z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{N}}
]
[
I = 2.88 \pm 1.96 \cdot \frac{1.05}{\sqrt{373}}
]
[
I = 2.88 \pm 1.96 \cdot 0.054
]
[
I \approx 2.88 \pm 0.106 \approx [2.77; 2.99]
]
Таким образом, с вероятностью 0.954 границы среднего размера домохозяйств по району составляют примерно от 2.77 до 2.99 человек. Это говорит о том, что средний размер домохозяйств в районе находится близко к 3 человекам.
