квадратичные неравенства решите а)х²-2х-8<0 б) 2х²-5х+3≥0 в)х²-1<0

Конечно! Давайте решим каждое из данных квадратных неравенств по порядку.

а) \( x² - 2x - 8 < 0 \)

1. Сначала найдем корни уравнения \( x² - 2x - 8 = 0 \). Используем формулу корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b² - 4ac}}}}{2a} \] Здесь \( a = 1, b = -2, c = -8 \): \[ D = (-2)² - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \] Корни: \[ x_1 = \frac{{2 + 6}}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{{2 - 6}}{2} = -2 \]

2. Теперь составим интервал: \( x_1 = 4 \) и \( x_2 = -2 \). Имеем интервалы: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 4) \) и \( (4, \infty) \).

3. Проверим знак в каждом интервале:

   • \( x = -3 \) (в интервале \( (-\infty, -2) \)): \( (-3)² - 2(-3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 \) (положительное).
   • \( x = 0 \) (в интервале \( (-2, 4) \)): \( 0² - 2\cdot0 - 8 = -8 \) (отрицательное).
   • \( x = 5 \) (в интервале \( (4, \infty) \)): \( 5² - 2\cdot5 - 8 = 25 - 10 - 8 = 7 \) (положительное).

4. Таким образом, решение: \( x \in (-2, 4) \).

б) \( 2x² - 5x + 3 \geq 0 \)

1. Найдем корни уравнения \( 2x² - 5x + 3 = 0 \): \[ D = (-5)² - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1 \] Корни: \[ x_1 = \frac{{5 + 1}}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, \quad x_2 = \frac{{5 - 1}}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]

2. Интервалы: \( (-\infty, 1) \), \( (1, \frac{3}{2}) \), \( (\frac{3}{2}, \infty) \).

3. Проверим знак:

   • \( x = 0 \) (в интервале \( (-\infty, 1) \)): \( 2\cdot0² - 5\cdot0 + 3 = 3 \) (положительное).
   • \( x = 1.2 \) (в интервале \( (1, \frac{3}{2}) \)): \( 2\cdot(1.2)² - 5\cdot(1.2) + 3 = 2.88 - 6 + 3 = -0.12\) (отрицательное).
   • \( x = 2 \) (в интервале \( (\frac{3}{2}, \infty) \)): \( 2\cdot2² - 5\cdot2 + 3 = 8 - 10 + 3 = 1 \) (положительное).

4. Учтем корни. Решение: \( x \in (-\infty, 1] \cup [\frac{3}{2}, \infty) \).

в) \( x² - 1 < 0 \)

1. Это неравенство можно переписать: \( (x - 1)(x + 1) < 0 \).

2. Корни уравнения: \( x = -1 \) и \( x = 1 \).

3. Интервалы: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 1) \), \( (1, \infty) \).

4. Проверим знак:

   • \( x = -2 \) (в интервале \( (-\infty, -1) \)): \( (-2 - 1)(-2 + 1) = (-3)(-1) = 3 \) (положительное).
   • \( x = 0 \) (в интервале \( (-1, 1) \)): \( (0 - 1)(0 + 1) = (-1)(1) = -1 \) (отрицательное).
   • \( x = 2 \) (в интервале \( (1, \infty) \)): \( (2 - 1)(2 + 1) = (1)(3) = 3 \) (положительное).

5. Решение: \( x \in (-1, 1) \).

Если нужны дополнительно пояснения по решению или другим темам, пожалуйста, дайте знать!