Исследовать функцию у=-2х²+7х-5

Давайте исследуем функцию \( y = -2x^2 + 7x - 5 \). Это квадратная функция, которая имеет общий вид \( y = ax^2 + bx + c \), где \( a = -2 \), \( b = 7 \), и \( c = -5 \). 1. **Определение параболы**: Поскольку \( a < 0 \), парабола открыта вниз. 2. **Вершина параболы**: Вершина квадратичной функции находится по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \). Подставим наши значения: \[ x = -\frac{7}{2 \cdot -2} = \frac{7}{4} = 1.75 \] Теперь подставим это значение обратно в функцию, чтобы найти координаты вершины: \[ y = -2 \left(\frac{7}{4}\right)^2 + 7 \left(\frac{7}{4}\right) - 5 \] Сначала считаем \(\left(\frac{7}{4}\right)^2 = \frac{49}{16}\): \[ y = -2 \cdot \frac{49}{16} + \frac{49}{4} - 5 \] Переведем все дроби к общему знаменателю: \[ y = -\frac{98}{16} + \frac{196}{16} - \frac{80}{16} = \frac{196 - 98 - 80}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8} \] Таким образом, координаты вершины параболы: \( \left(\frac{7}{4}, \frac{9}{8}\right) \). 3. **Наибольшее значение**: Поскольку парабола открыта вниз, вершина будет соответствовать наибольшему значению функции. Наибольшее значение \( y = \frac{9}{8} \). 4. **Нахождение нулей функции**: Чтобы найти точки пересечения с осью \( x \) (нулевые точки функции), решим уравнение \( -2x^2 + 7x - 5 = 0 \). Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \): \[ D = 7^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-5) = 49 - 40 = 9 \] Поскольку дискриминант положителен, у уравнения есть два различных корня: \[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 3}{-4} \] Находим корни: \[ x_1 = \frac{-7 + 3}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-7 - 3}{-4} = \frac{-10}{-4} = 2.5 \] Таким образом, точки пересечения с осью \( x \): \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = 2.5 \). 5. **Область определения и область значений**: Область определения функции — все действительные числа \( (-\infty; +\infty) \). Поскольку парабола открыта вниз, область значений — от \( -\infty \) до наибольшего значения, то есть \( (-\infty, \frac{9}{8}] \). Эти этапы дают полное исследование функции \( y = -2x^2 + 7x - 5 \). Если у вас есть дополнительные вопросы или вы хотели бы рассмотреть что-то конкретное на этом графике, дайте знать!