исследовать функцию у=-2х²+7х-5
Давайте исследуем функцию \( y = -2x^2 + 7x - 5 \). Это квадратная функция, которая имеет общий вид \( y = ax^2 + bx + c \), где \( a = -2 \), \( b = 7 \), и \( c = -5 \).
Определение параболы: Поскольку \( a < 0 \), парабола открыта вниз.
Вершина параболы: Вершина квадратичной функции находится по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \). Подставим наши значения:
\[ x = -\frac{7}{2 \cdot -2} = \frac{7}{4} = 1.75 \]
Теперь подставим это значение обратно в функцию, чтобы найти координаты вершины:
\[ y = -2 \left(\frac{7}{4}\right)^2 + 7 \left(\frac{7}{4}\right) - 5 \]
Сначала считаем \(\left(\frac{7}{4}\right)^2 = \frac{49}{16}\):
\[ y = -2 \cdot \frac{49}{16} + \frac{49}{4} - 5 \]
Переведем все дроби к общему знаменателю:
\[ y = -\frac{98}{16} + \frac{196}{16} - \frac{80}{16} = \frac{196 - 98 - 80}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8} \]
Таким образом, координаты вершины параболы: \( \left(\frac{7}{4}, \frac{9}{8}\right) \).
Наибольшее значение: Поскольку парабола открыта вниз, вершина будет соответствовать наибольшему значению функции. Наибольшее значение \( y = \frac{9}{8} \).
Нахождение нулей функции: Чтобы найти точки пересечения с осью \( x \) (нулевые точки функции), решим уравнение \( -2x^2 + 7x - 5 = 0 \). Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \):
\[ D = 7^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-5) = 49 - 40 = 9 \]
Поскольку дискриминант положителен, у уравнения есть два различных корня:
\[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 3}{-4} \]
Находим корни:
\[ x_1 = \frac{-7 + 3}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1 \]
\[ x_2 = \frac{-7 - 3}{-4} = \frac{-10}{-4} = 2.5 \]
Таким образом, точки пересечения с осью \( x \): \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = 2.5 \).
Область определения и область значений: Область определения функции — все действительные числа \( (-\infty; +\infty) \). Поскольку парабола открыта вниз, область значений — от \( -\infty \) до наибольшего значения, то есть \( (-\infty, \frac{9}{8}] \).
Эти этапы дают полное исследование функции \( y = -2x^2 + 7x - 5 \). Если у вас есть дополнительные вопросы или вы хотели бы рассмотреть что-то конкретное на этом графике, дайте знать!
