На зимних каникулах из 36 учащихся класса только двое посидели дома, 25 ходили в кино, 15 в театр, 17 в цирк. Кино и театр посетили 11 учеников, кино и цирк 10, цирк и тетр 4.…

Давайте решим эту задачу шаг за шагом, используя принцип включения и исключения.

Обозначим:

• \( A \) — количество учащихся, посетивших кино (25 человек),
• \( B \) — количество учащихся, посетивших театр (15 человек),
• \( C \) — количество учащихся, посетивших цирк (17 человек),
• \( |A \cap B| \) — количество учащихся, посетивших и кино, и театр (11 человек),
• \( |A \cap C| \) — количество учащихся, посетивших и кино, и цирк (10 человек),
• \( |B \cap C| \) — количество учащихся, посетивших и театр, и цирк (4 человека).

Обозначим количество учащихся, побывавших и в кино, и в театре, и в цирке как \( x \).

По формуле включения и исключения мы можем записать общее количество уникальных учащихся, которые посетили хотя бы одно мероприятие, следующим образом:

\[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| \]

Подставим известные значения:

\[ |A \cup B \cup C| = 25 + 15 + 17 - 11 - 10 - 4 + x \]

Слева у нас общее количество учащихся, которые либо остались дома, либо побывали на мероприятиях. Поскольку из 36 учащихся только двое остались дома, то 34 учащихся побывали на мероприятиях:

\[ 34 = 25 + 15 + 17 - 11 - 10 - 4 + x \]

Теперь упростим уравнение:

\[ 34 = 57 - 25 + x \]

\[ 34 = 32 + x \]

Теперь найдем \( x \):

\[ x = 34 - 32 \]

\[ x = 2 \]

Таким образом, количество учащихся, которые побывали и в кино, и в театре, и в цирке, равно 2.