Найти объем тела образованного вращением фигуры ограниченной линиями y=8+2x-x^2,y=x+6
Для нахождения объема тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями \( y = 8 + 2x - x^2 \) и \( y = x + 6 \), мы сначала найдем точки пересечения этих функций.
Найдем точки пересечения: Нужно решить уравнение \( 8 + 2x - x^2 = x + 6 \).
Преобразуем его: \[ -x^2 + 2x - x + 8 - 6 = 0 \] \[ -x^2 + x + 2 = 0 \] Умножим всё на -1: \[ x^2 - x - 2 = 0 \]
Факторизуя, получаем: \[ (x - 2)(x + 1) = 0 \] Таким образом, \( x = 2 \) и \( x = -1 \).
Найдем значение \( y \) в точках пересечения: Подставим \( x = 2 \) в одно из уравнений, например, \( y = x + 6 \): \[ y = 2 + 6 = 8 \] Подставим \( x = -1 \): \[ y = -1 + 6 = 5 \] Точки пересечения — это \( (2, 8) \) и \( (-1, 5) \).
Используем метод дисков (или колец) для нахождения объема: Объем тела вращения вокруг оси абсцисс можно найти по формуле: \[ V = \pi \int_{a}^{b} (R^2 - r^2) \, dx \] где \( R \) — это верхняя функция, а \( r \) — нижняя функция.
В нашем случае:
- Верхняя функция: \( y_1 = 8 + 2x - x^2 \)
- Нижняя функция: \( y_2 = x + 6 \)
- Пределы интегрирования: от \( x = -1 \) до \( x = 2 \).
Теперь вычислим объем: \[ V = \pi \int_{-1}^{2} \left( (8 + 2x - x^2)^2 - (x + 6)^2 \right) \, dx \]
Для нахождения этого интеграла потребуется провести алгебраические преобразования.
Вычислим интеграл:
Сначала найдем \( (8 + 2x - x^2)^2 \): \[ (8 + 2x - x^2)^2 = 64 + 32x - 16x^2 + 4x^2 + x^4 = x^4 - 12x^2 + 32x + 64 \]
Затем \( (x + 6)^2 \): \[ (x + 6)^2 = x^2 + 12x + 36 \]
Теперь подставим в объем: \[ V = \pi \int_{-1}^{2} \left((x^4 - 12x^2 + 32x + 64) - (x^2 + 12x + 36)\right) \, dx \] Упрощаем: \[ = \pi \int_{-1}^{2} (x^4 - 13x^2 + 20x + 28) \, dx \]
Вычисляем интеграл: Сначала найдем неопределенный интеграл: \[ \int (x^4 - 13x^2 + 20x + 28) \, dx = \frac{x^5}{5} - \frac{13x^3}{3} + 10x^2 + 28x \]
Теперь подставим пределы от \( -1 \) до \( 2 \).
Вычисление пределов: Подставляем \( x = 2 \): \[ V(2) = \frac{2^5}{5} - \frac{13 \cdot 2^3}{3} + 10 \cdot 2^2 + 28 \cdot 2 \] Подставляем \( x = -1 \): \[ V(-1) = \frac{(-1)^5}{5} - \frac{13 \cdot (-1)^3}{3} + 10 \cdot (-1)^2 + 28 \cdot (-1) \]
Подсчитав оба значения, определим окончательный объем \( V \).
Таким образом, вы получите объем тела, образованного вращением заданной фигуры. Если у вас будут дополнительные вопросы по этому процессу или вы захотите подробнее разобрать какие-то моменты, не стесняйтесь спрашивать!
