Дано: прямоугольник ABCD, CH перпендикулярно BD, AB меньше BD в 3 раза, BC=20см. Найти CH
Для решения задачи давайте начнем с обозначения сторон прямоугольника ABCD и необходимых элементов.
Обозначим:
- \( AB = x \)
- \( BD \) (диагональ) = \( y \)
- Из условия задачи, \( AB \) меньше \( BD \) в 3 раза: \[ x = \frac{y}{3} \]
- И \( BC = 20 \, \text{см} \).
В прямоугольнике ABCD мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения диагонали \( BD \): \[ BD^2 = AB^2 + BC^2 \] Подставим значения \( AB \) и \( BC \): \[ y^2 = x^2 + 20^2 \]
Теперь подставим выражение для \( x \): \[ y^2 = \left(\frac{y}{3}\right)^2 + 20^2 \]
Раскроем скобки: \[ y^2 = \frac{y^2}{9} + 400 \]
Умножим все на 9, чтобы избавиться от дроби: \[ 9y^2 = y^2 + 3600 \]
Переносим \( y^2 \) влево: \[ 8y^2 = 3600 \]
Разделим обе стороны на 8: \[ y^2 = 450 \] \[ y = \sqrt{450} = 15\sqrt{2} \, \text{см} \]
Теперь находим \( x \): \[ x = \frac{y}{3} = \frac{15\sqrt{2}}{3} = 5\sqrt{2} \, \text{см} \]
Обозначим точку \( H \) как основание перпендикуляра \( CH \) к диагонали \( BD \). В прямоугольном треугольнике \( BCD \) также применим теорему Пифагора для нахождения \( CH \): \[ CH = \frac{AB \cdot BC}{BD} \] Подставим известные значения: \[ CH = \frac{5\sqrt{2} \cdot 20}{15\sqrt{2}} = \frac{100}{15} = \frac{20}{3} \approx 6.67 \, \text{см} \]
Таким образом, высота \( CH \) равна \( \frac{20}{3} \) см или примерно \( 6.67 \) см.
