x²-10x+21>0
Чтобы решить неравенство \(x^2 - 10x + 21 > 0\), начнем с поиска корней квадратного уравнения \(x^2 - 10x + 21 = 0\).
Для этого можем воспользоваться формулой квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
В нашем случае \(a = 1\), \(b = -10\), \(c = 21\). Подставим эти значения в формулу:
- Найдем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16 \]
- Теперь находим корни:
\[ x_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 4}{2} = \frac{14}{2} = 7 \]
\[ x_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
Теперь у нас есть корни \(x_1 = 7\) и \(x_2 = 3\).
Следующий шаг — определить, на каких промежутках неравенство выполняется. Квадратное уравнение \(x^2 - 10x + 21\) открывается вверх (поскольку коэффициент при \(x^2\) положителен), и будет принимать положительные значения вне промежутков, заданных корнями:
- \(x < 3\)
- \(3 < x < 7\)
- \(x > 7\)
Теперь проверим знаки на этих промежутках:
- Для \(x < 3\) (например, возьмем \(x = 0\)): \(0^2 - 10 \cdot 0 + 21 = 21 > 0\).
- Для \(3 < x < 7\) (например, возьмем \(x = 5\)): \(5^2 - 10 \cdot 5 + 21 = 25 - 50 + 21 = -4 < 0\).
- Для \(x > 7\) (например, возьмем \(x = 8\)): \(8^2 - 10 \cdot 8 + 21 = 64 - 80 + 21 = 5 > 0\).
Таким образом, неравенство \(x^2 - 10x + 21 > 0\) выполняется в следующих промежутках:
\[ (-\infty, 3) \cup (7, +\infty) \]
Ответ: \(x^2 - 10x + 21 > 0\) при \(x \in (-\infty, 3) \cup (7, +\infty)\).
