X²-10x+21>0

Чтобы решить неравенство \(x^2 - 10x + 21 > 0\), начнем с поиска корней квадратного уравнения \(x^2 - 10x + 21 = 0\). Для этого можем воспользоваться формулой квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] В нашем случае \(a = 1\), \(b = -10\), \(c = 21\). Подставим эти значения в формулу: 1. Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16 \] 2. Теперь находим корни: \[ x_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 4}{2} = \frac{14}{2} = 7 \] \[ x_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] Теперь у нас есть корни \(x_1 = 7\) и \(x_2 = 3\). Следующий шаг — определить, на каких промежутках неравенство выполняется. Квадратное уравнение \(x^2 - 10x + 21\) открывается вверх (поскольку коэффициент при \(x^2\) положителен), и будет принимать положительные значения вне промежутков, заданных корнями: 1. \(x < 3\) 2. \(3 < x < 7\) 3. \(x > 7\) Теперь проверим знаки на этих промежутках: - Для \(x < 3\) (например, возьмем \(x = 0\)): \(0^2 - 10 \cdot 0 + 21 = 21 > 0\). - Для \(3 < x < 7\) (например, возьмем \(x = 5\)): \(5^2 - 10 \cdot 5 + 21 = 25 - 50 + 21 = -4 < 0\). - Для \(x > 7\) (например, возьмем \(x = 8\)): \(8^2 - 10 \cdot 8 + 21 = 64 - 80 + 21 = 5 > 0\). Таким образом, неравенство \(x^2 - 10x + 21 > 0\) выполняется в следующих промежутках: \[ (-\infty, 3) \cup (7, +\infty) \] Ответ: \(x^2 - 10x + 21 > 0\) при \(x \in (-\infty, 3) \cup (7, +\infty)\).