Рассмотрим данную задачу, в которой стрелок стреляет по пяти мишеням, и вероятность поразить каждую мишень составляет 0,6. Каждая мишень может быть поражена не более чем двумя выстрелами. Обозначим вероятность того, что стрелок поразит ровно ( k ) мишеней, как ( P(k) ).
Чтобы найти требуемое отношение вероятностей, будем сначала вычислять вероятности для двух случаев: стрелок поразит ровно четыре мишени и стрелок поразит ровно две мишени.
1. Вероятность поразить ровно четыре мишени ( P(4) )
Для того чтобы стрелок поразил ровно четыре мишени, можно представить, что он попал в 4 мишени и не попал в одну. Стрелок имеет 5 мишеней, и нужно выбрать 4 из них, что можно сделать ( C(5, 4) = 5 ) способами.
Чтобы поразить 4 мишени, стрелку нужно:
- Попасть в каждую из 4 мишеней (вероятность 0,6 для каждой).
- Не поразить 1 мишень (вероятность 0,4).
Таким образом, общая вероятность будет равна:
[
P(4) = C(5, 4) \cdot (0.6)^4 \cdot (0.4)^1 = 5 \cdot (0.6)^4 \cdot (0.4)
]
2. Вероятность поразить ровно две мишени ( P(2) )
Аналогично, для того чтобы стрелок поразил ровно две мишени, можно представить, что стрелок попал в 2 мишени и не попал в 3. Это можно сделать ( C(5, 2) = 10 ) способами.
Чтобы поразить 2 мишени, стрелку нужно:
- Попасть в каждую из 2 мишеней (вероятность 0,6 для каждой).
- Не поразить 3 мишени (вероятность 0,4 для каждой).
Таким образом, общая вероятность будет равна:
[
P(2) = C(5, 2) \cdot (0.6)^2 \cdot (0.4)^3 = 10 \cdot (0.6)^2 \cdot (0.4)^3
]
3. Определить отношение вероятностей ( \frac{P(4)}{P(2)} )
Теперь найдем отношение:
[
\frac{P(4)}{P(2)} = \frac{5 \cdot (0.6)^4 \cdot (0.4)}{10 \cdot (0.6)^2 \cdot (0.4)^3}
]
Упрощаем это выражение:
[
\frac{P(4)}{P(2)} = \frac{5 \cdot (0.6)^4 \cdot (0.4)}{10 \cdot (0.6)^2 \cdot (0.4)^3} = \frac{5}{10} \cdot \frac{(0.6)^4}{(0.6)^2} \cdot \frac{(0.4)}{(0.4)^3}
= \frac{1}{2} \cdot (0.6)^2 \cdot \frac{1}{(0.4)^2}
]
Далее, вычислим значения:
[
(0.6)^2 = 0.36,
\quad (0.4)^2 = 0.16,
\quad \frac{0.36}{0.16} = 2.25
]
Теперь подставим обратно в отношение:
[
\frac{P(4)}{P(2)} = \frac{1}{2} \cdot 2.25 = 1.125
]
Таким образом, вероятность события, что стрелок поразит ровно четыре мишени, в 1.125 раз больше вероятности события, что он поразит ровно две мишени.
В итоге, ответ: вероятность стрелка поразить ровно четыре мишени больше вероятности поразить ровно две мишени в 1.125 раза.
